习题1.3教学设计(第一课时)

空间几何体的表面积和体积

教学设计

绍兴市高级中学

曹千秋

2018年4月

空间几何体的表面积和体积

教学设计

一、

教学目标

本堂课为复习课，主要目标是梳理空间几何体表面积与体积的公式、典型题目及其知识点、解题思路和方法等。

知识与技能目标：掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的求法；能运用公式求解柱体、锥体和台体的全面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；熟悉空间几何体的两种题目类型——①求表面积与体积②旋转问题，培养学生空间想象能力和思维能力。

过程与方法目标：深入感知几何体的形状；理顺柱体、锥体、台体三者的面积和体积的关系；在掌握公式的基础上，活学活用转化、函数、数形结合思想。

情感态度与价值观目标：通过学习，使学生感受到几何体表面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响，从而增强学习的积极性。

二、

学情分析

经过之前空间几何体的学习，学生已经基本掌握了空间几何体的计算公式，但是仍存在以下问题：

1）空间想象能力欠缺：学生在学***面几何时形成了思维定势，对立体几何学习有所干扰，在直观图与三视图转换，柱、锥、台体在空间中的平移和翻转等空间转换和想象方面仍有所欠缺；

2）空间解题思维有待强化：空间几何体公式计算变量较多，学生们还没有养成多变量环境下的由已知推未知的解题思路，题目摄入信息量比较狭窄，信息提取能力有待加强。

3）对复杂题目存在畏难情绪：学生欠缺对多几何体的接触和交互问题解决方案的理解，畏难情绪严重。

基于教材和学生特点，我决定借助信息技术的优势，使用多媒体教学，攻克教学中的重难点，提高数学教学的效果；在教学过程中侧重对“专题化”、“步骤化”讲解，达到题目有所对应、做题有法可循的效果，逐渐抵消学生的畏难情绪，强化学生空间思维、分析问题和解决问题的能力。

三、

重点难点

教学重点：空间几何体表面积和体积公式的掌握，题目解决方法的理解；

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教学难点：空间问题分析能力，即函数思想、转化思想的的灵活运用。

四、

教法建议

1、教法设计：

探索讨论法：由学生通过联想、归纳，明确空间几何体的已知和未知，确定由已知推导未知的方法，有利于学生主动建构知识架构，有利于突出重点、突破难点、发挥其创造性。

2、学法指导

：

仔细观察——分析讨论——抽象出概念——推出方程。这样有利于学生发挥学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。

3、教学手段：多媒体辅助教学。

通过动态教学软件演示，有利于激发学生学习兴趣和学习热情，增大知识信息的容量，使内容充实、形象、直观，提高教学效率和教学质量。

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空间几何体的表面积和体积

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五、

教学基本流程

明确目标教学流程设计考纲解析设计思路考纲总领，以明确教学的深度和广度。理清关键知识点：①多面体的侧面积与表面积②旋转体的侧面积与表面积③空间几何体的体积通过分类复习，差异化记忆，达到加深理解的作用。内容复习梳理重点概念重温计算公式专题引入专题练习表面积和体积计算旋转问题思想和方法常规计算三角形思想：函数数形转化明确：旋转轴旋转体+三视图+割补+旋转轴+半圆专题复习采用题目练习的形式，课本习题+变式，在学生已学、已思、已做的基础上加以延伸和强化，尤其强调“函数思想”、“数形结合思想”、“转化思想”的应用，帮助学生养成良好的思维习惯、强化空间想象能力。知识巩固（知识反馈、练习）小结与探究课堂小结专项练习，达到内容有反馈、知识有贯通；总结思想和方法，加深学生理解，强化逻辑思维能力。发散训练—球与多面体位置关系“探究”以启发学生思辨：球与正方体的三种临界位置关系，面内切、棱内切、顶点外接。

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空间几何体的表面积和体积

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六、

教学过程设计

（一）考纲解析

教学开篇，以考纲总领，明确教学深度和广度，一定程度上节省时间和精力做专项突破，为学生备考圈定范围、指引方向。

1、空间几何体的表面积、体积是高考的热点，多与三视图相结合命题；

2、主要考查由三视图还原几何体并求表面积或体积，同时考查空间想象能力及运算能力．题型多为选择、填空题。

（二）自主落实、固基础

空间几何体的表面积和体积题目变化多端，但都是以几何体概念、计算公式为基础搭建的，因此强化基础知识至关重要，本环节以“表面积和体积计算公式”、“重点概念——斜高”为抓手，辅以概念辨析理清关键知识点。

1、多面体的表（侧）面积：

多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面积之和，表（全）面积就是侧面积和底面面积之和。

设计意图：侧面积和表（全）面积之间的关系是空间几何中最基本的地方，学生犯错往往在立体几何与实际问题相结合时，如烟囱外墙贴瓷砖、陶瓷上釉等，都是针对几何体表面积的一部分，需要明确整体和局部关系。

2、旋转体的表（侧）面积

圆柱、圆锥、圆台、球的侧面积和表面积

名称

圆柱（底面半径r，母线l）

圆锥（底面半径r，母线l）

圆台（上下底面半径r1、r2，母线l）

球（半径R）

侧面积

表面积

2rl

2rl2r2

rl

rlr2

(r1r2)l

(r1r2)l(r12r22)

4r2

3、空间几何体的体积

柱体、锥体、台体、球体。

说明：旋转体的表面积、空间几何体的体积方面，辅以多媒体工具，采用提问的方式与学生互动，增加学生的参与度和课堂的活跃性。

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空间几何体的表面积和体积

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空间几何体的表面积和体积计算公式是该该版块学习的基础，而理清知识最好的办法就是分类，通过分类找到差异从而达到强化记忆加深理解的作用，如①几何体类型：旋转体与非旋转体，柱体与椎体和台体；②围成几何体的要素：底面、侧面、内体积；③体积和表面积的计算变量：直接变量与间接变量，如半径、高和母线；④几何体之间的嵌套关系：圆柱-圆台-圆锥，棱柱-棱台-棱锥等等。

（三）专题复习

专题复习拟采用题目练习的形式，课本习题+变式，在学生已学、已思、已做的基础上加以延伸和强化，尤其强调“函数思想”、“数形结合思想”、“转化思想”的应用，帮助学生养成良好的思维习惯、强化空间想象能力。

1、几何体的表面积和体积

1）习题1.3

A组-1 五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13cm，求它的侧面面积。

设计意图：以教材练习为原型，强调对“多面体侧面斜高”概念的理解。并以此为基础进行展开变式训练。

2）变式1：

已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

，体积是

三视图

直观图

设计意图：与习题1）相比，变式练习内容有所加深：①由三视图还原直观图；②四面体侧面积求解需要用到“正余弦定理”进行转化。与三角函数、三视图相结合是空间几何考察的热点。

方法总结：

①以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰5

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当的分析，从三视图中发现几何体各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图．

②在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加．

3）习题1.3

A组-1 已知圆台的上、下底面半径分别是r、R，且侧面面积等于两底面积之和。求：圆台的母线长

设计意图：与前两道习题相比，该题目着重练习“函数思想”在空间几何计算中的应用，而非简单的三角函数，即：明确已知（上下底面半径）与未知（母线），综合台体侧面“扇环”面积计算公式，建立已知与未知的关系进行解答。

4）习题1.3

A组-3 如图，将一个长、宽、高分别为a、c、b的长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值。

设计意图：通过此题初讲多面体体积求解中的“割补思想”，辅以棱柱、棱锥面积计算公式，建立局部与整体之间的关系，并以此为基础进行展开变式训练。

5）变式2：

在长方体ABCD−A1B1C1D1

中，AB=4，BC=3，AA1=2 ， E、F分别为棱AB、BC的中点，求三棱锥D−A1EF的体积。

解析：变式2中，棱锥E-A1DF可以转化顶点为F-DEA1，也可以转化顶点6

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为A1-DEF，而三棱锥体积求解需要变量S（底面积）和h（高），通过对比找到易于解答的变量进而求解。

设计意图：变式2主要是在“割补思想”的基础上进一步拓宽学生思维，在空间中通过“旋转”四面体（转化主顶点）寻找易于计算的变量（函数思想）进一步确定已知与所求的关系。

同样，本题还涉及“割补思想”在平面面积求解中的应用，如要求解棱锥A1-DEF的底面△DEF的面积，可以考虑求三边长度，进而余弦定理求解面积；或者用□ABCD的面积减去△ADE、△BEF、△CDF的面积（等体积/面积思想）。

6）变式3：

在三棱台ABC-A1B1C中，AB：A1B1=1:2，求三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1三者的体积之比。

解析：设△ABC的面积为S，则△A1B1C1的面积为4S，根据棱锥和台体体积计算公式，等高的棱锥A1-ABC与棱台的体积比为1:7，同理等高的棱锥A1-ABC与棱锥C-A1B1C1的体积比为其底面积之比1:4，而棱锥B-A1B1C的体积为棱台的体积减去棱锥A1-ABC与棱锥C-A1B1C1的体积，从而三者体积比为1:2:4。

其实，除了整体与局部对比，还可以局部与局部对比，棱锥A1-ABC与棱锥C-A1B1B的体积之比即为其底面积之比1:4，从而求得三个棱锥的体积比。

设计意图：此题为“转换顶点法”、“等体积法”的综合应用，与变式2类似，7

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受限于已有直观图的观察角度，三棱锥B-A1B1C和C1-A1B1C较难确认易于计算的变量，需要通过相邻四面体或者四面体与整体对比来确认，关键在于找到相邻锥体公用面。

方法总结：

①转换顶点的原则是使底面面积和高易求．一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上；

②等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”；

③注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法。

2、旋转问题

旋转问题对学生的空间想象能力有较高的要求，需要注意以下几点：①明确旋转轴和旋转平面的边缘；②明确旋转后所形成的几何体，对于高中而言，不外乎以下几种，圆柱、圆锥、圆台以及以上三种图形的组合；③明确旋转体的计算要素，如底面积、高等。题目多以组合的旋转体，如圆柱/圆锥与圆柱、圆锥、圆台的组合和嵌套为主，要明确个几何体的相互位置关系、几何变量关系。

8）习题1.3

B组-3 分别以一个直角三角形的斜边、两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周，形成的曲面围成的三个几何体，画出他们的直观图，并讨论他们体积之间的关系（三角形三边为a、b、c，其中c>a≥b）。

设计意图：此题为基本且典型的直角三角形旋转成体问题，考试题目多以此为原型，此题主要锻炼学生形成针对旋转题目的直接思维：①明确旋转几何体类型；②明确对应体积变量。

明确了平面几何旋转成体后的“样本容量”后，可以有效消除学生对旋转几何8

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体的畏难情绪，即旋转不过为几个基本几何体的嵌套和组合而已，从最基础的部分开始掌握，往往是最有效。

9）变式4：

如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋

转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中∠BAC=30°)及其体积。

设计意图：在习题7）的基础上考察学生对“平面嵌套几何”旋转成体的理解，而非简单的立体几何的嵌套，对学生的空间想象能力的考核又上了一个台阶。

同理，我们可以将旋转平面几何分解，旋转成型后进行叠加，则阴影部分即为球体与双圆锥体的体积差。

（四）课堂练习

以上讲解了几何体的表面积和体积、旋转两个板块，综合讲解了函数思想、割补思想、转换顶点方法、等体积法等思想和方法在空间几何体表面积和体积中的应用。为进一步巩固教学成果，以下题目为课堂训练：

练习1：圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（）

A 7

B 6

C 5

D 3

练习2：三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于__________．

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（五）课堂小结

1、教学思想：

转化思想：①空间问题转化为平面问题，巧用截面/侧面等；②复杂组合体分解/补充为规则几何体；

数形结合：综合几何体直观图、三视图、截面图分析问题；

函数思想：确定已知，明确未知与已知的关系。

2、主题及其主要知识点

1）几何体的表面积和体积：明确所求量，倒推计算元素；

涉及方法：“转化主顶点”、“等面积/体积法”、

主要知识点：“侧面体斜高”、“三视图与直观图转化”、

2）旋转问题：明确旋转轴和旋转体类型，确定计算要素；

（六）发散训练

探究以下三类球与多面体临界接触情况下的球半径与正方体边长之间的定量关系。

面内切球

棱内切球

外接球

解析：解决此类问题的关键是建立球体与多面体变量之间的量化关系，即将立体空间问题转化为平面问题量化求解，求未知时，可以将未知转化为我们已经掌握了的纬度来解决。

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对于边长为a的正方体与面内切球、棱内切球、外接球的量化关系，我们可以从以下三个截面去理解：

中截面

面对角截面

体对角截面

设计意图：为了进一步拓展学生的空间思维能力，加深学生对球与多面体位置关系的理解，引入面内切球、棱内切球、外接球供师生探讨、学习。

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