2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计及教案分析

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标

1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系.3.掌握空间中平面与平面的位置关系．

知识点一

直线和平面的位置关系

思考

如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？

答案

三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．

梳理

直线l与平面α的位置关系

(1)直线l在平面α内(l⊂α)．

直线l与平面α相交l∩α＝A(2)直线l在平面α外l⊄α)

直线l与平面α平行l∥α

知识点二

两个平面的位置关系

思考

观察前面问题中的长方体，平面A1C1与长方体的其余各个面，两两之间有几种位置关系？

答案

两种位置关系：两个平面相交或两个平面平行．

梳理

平面α与平面β的位置关系

位置关系

两平面平行

图示

表示法

α∥β

公共点个数

0个

两平面相交

α∩β＝l 无数个点(共线)

1．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×) 2．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．(×) 3．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(×)

类型一

直线与平面的位置关系

例1

(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(

) A．直线上所有的点都在平面外

B．直线上有无数多个点都在平面外

C．直线上有无数多个点都在平面内

D．直线上至少有一个点在平面内

(2)下列四个命题中正确命题的个数是(

) ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

④如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α. A．0

B．1

C．2

D．3 考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

(1)B

(2)B 解析

(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外．

(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；③中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即③正确；④显然不正确，故选B.

反思与感悟

在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

跟踪训练1

(1)若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是(

) A．α内的所有直线都与直线a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线都与a相交

D．直线a与平面α有公共点

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

直线a不平行于平面α，则a与平面α相交或a⊂α，故选D. (2)一条直线l上有相异的三个点A，B，C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是(

) A．l∥α

B．l⊥α

C．l与α相交但不垂直

D．l∥α或l⊂α

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

当l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；当l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；当l⊥α时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个；当l与α斜交时，直线l上到α的距离相等且不为0的点有两个．

类型二

平面与平面的位置关系

命题角度1

空间平面和平面位置关系的判断

例2

在以下三个命题中，正确的命题是(

) ①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交．

A．①②

B．②③

C．③

D．①③

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

C 解析

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错．命题③是正确的，故选C.

反思与感悟

利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法．

跟踪训练2

(1)一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面(

) A．平行

B．相交

C．平行或重合

D．平行或相交

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

D 解析

当三点在平面α的同侧时，如图1所示，由点A，B，C到平面α的距离相等，设到α的点为D，E，F，则有构成三个长方形ABED，BCFE，CADF，于是就有AB∥DE，BC∥EF，因为两相交直线平行，所以α∥β.当三点在平面β的异侧时，如图2所示也成立．

(2)已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点．

其中正确命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

B 解析

①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．

命题角度2

两平面位置关系的作图

例3

(1)画出两平行平面；

(2)画出两相交平面．

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

图形语言及图形语言与符号语言的互化

解

两个平行平面的画法：画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行，如图a所示．

两个相交平面的画法：第一步，先画表示平面的平行四边形的相交两边，如图b所示；第二步，再画出表示两个平面交线的线段，如图c所示；第三步，过b中线段的端点分别引线段，使它们平行且等于图c中表示交线的线段，如图d所示；第四步，画出表示平面的平行四边形的第四边(被遮住部分线段可画成虚线，也可不画)，如图e所示．

引申探究

在图中画出一个平面与两个平行平面相交．

解

跟踪训练3

试画出相交于一点的三个平面．

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

图形语言及图形语言与符号语言的互化

解

如图所示(不唯一)．

1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(

) A．一条直线不相交

C．无数条直线不相交

B．两条直线不相交

D．任意一条直线不相交

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．

2．下列说法中正确的是(

) A．两个平面可以只有一个交点

B．一条直线与一个平面最多有一个公共点

C．两个平面有一个公共点，则它们相交或重合

D．两个平面有三个公共点，它们一定重合

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

C 解析

两平面有公共点，包括两平面重合或相交．

3．如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系为(

A．平行

B．直线在平面内

C．相交或直线在平面内

D．平行或直线在平面内

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

D 4．两条相交直线a，b都在平面α内且都不在平面β内，且平面α与β相交，则a和b(A．一定与平面β都相交

B．至少一条与平面β相交

C．至多一条与平面β相交

D．可能与平面β都不相交

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

B 解析

设α∩β＝c，

若直线a，b都不与β相交，则a∥c，b∥c，

∴a∥b，这与直线a，b相交矛盾，

故直线a，b中至少一条与β相交．

5．若三个平面两两相交，则它们交线的条数为________．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

1或3 解析

若三个平面两两相交，有可能交于一条直线，也有可能出现3条不同的交线．

) )

1．弄清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，要有画图意识，并借助于空间想象能力进行细致的分析．

2．长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映．因而人们给它以“百宝箱”之称.

一、选择题

1．直线在平面外是指(

) A．直线与平面没有公共点

B．直线与平面相交

C．直线与平面平行

D．直线与平面最多只有一个公共点

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的应用

答案

D 解析

直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点．

2．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(

) A．相交

C．直线在平面内

B．平行

D．平行或直线在平面内

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

A 解析

延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．

3．下列说法正确的是(

) A．如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行

B．两个平面相交于唯一的公共点

C．如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则它们必有无数个公共点

D．平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

C 解析

在A中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故A错误；在B中，两个平面相交于一条直线，故B错误；在C中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故C正确；在D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故D错误．故选C. 4．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是(

) A．l与β相交

C．l在β内

B．l与β平行

D．无法判定

考点

空间中直线与直线的位置关系

题点

空间中直线与直线的位置关系判定

答案

B 解析

∵α∥β，∴α与β无公共点．

∵l⊂α，∴l与β无公共点，∴l∥β. 5．若平面α与β的公共点多于两个，则(

) A．α，β可能只有三个公共点

B．α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上

C．α，β一定有无数个公共点

D．以上均不正确

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

C 解析

若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故选C. 6．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(

) A．b⊂α

C．b⊂α或b∥α

B．b∥α

D．b与α相交或b⊂α或b∥α

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

D 解析

通过观察正方体，可知b与α相交或b⊂α或b∥α.故选D. 7．下列命题中，正确的有(

) ①平行于同一直线的两条直线平行；

②平行于同一个平面的两条直线平行；

③平行于同一条直线的两个平面平行；

④平行于同一个平面的两个平面平行．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

考点

线、面关系的其他综合问题

题点

线面关系的其他综合问题

答案

B 解析

②中，也有可能是相交或异面，故②错误；③中，存在平行于两个相交平面的交线，且不在两个平面内的直线，故③错误．

8．下列说法中正确的个数是(

) ①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；

②两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交；

③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；

④如果α∥β，a∥α，那么a∥β. A．0

B．1

C．2

D．3 考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

B 解析

①错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线．

②正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交．

③错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行．

④错误，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a⊂β. 二、填空题

9．已知下列说法：

①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；

②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；

③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；

④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．

其中正确的序号是____________．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

③

解析

①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③对，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行．

10．若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________．

考点

平面与平面之间的位置关系

题点

平面与平面之间的位置关系判定

答案

相交

解析

∵点A∈α，B∉α，C∉α，

∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，

∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．

11．下列说法中正确的是________．(填序号) ①若直线a不在平面α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；

④平行于同一平面的两条直线可以相交．

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

③④

解析

当a∩α＝A时，a⊄α，故①错；当直线l与α相交时，l上有无数个点不在α内，故②错；若l∥α，则l与α无公共点，则l与α内任何一条直线都无公共点，故③正确；在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交，且都与平面ABCD平行，故④正确．故答案为③④. 12．互不重合的三个平面最多可以把空间分成________个部分．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

答案

8 解析

互不重合的三个平面将空间分成五种情形：当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分；当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分．即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分．所以最多将空间分成8部分．

三、解答题

13.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

解

平面ABC与平面β的交线与l相交．

证明如下：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l是相交直线．

设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l. 又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，

即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，

而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，

又∵P，C不重合，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，

即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

四、探究与拓展

14．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．

考点

空间中直线与平面之间的位置关系

题点

空间中直线与平面之间的位置关系的判定

答案

b⊂α，b∥α或b与α相交

解析

b与α有如下情况：

15．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l. (1)画出l的位置；

(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长．

考点

线、面关系的综合问题

题点

线、面关系的其他综合问题

解

(1)如图所示，连接DM并延长交D1A1的延长线于点Q，连接QN，直线QN即为直线l.

(2)QN∩A1B1＝P，

由已知得△MA1Q≌△MAD，

∴A1Q＝AD＝a＝A1D1，

∴A1是QD1的中点．

又A1P∥D1N，

111∴A1P＝D1N＝C1D1＝a，

24413∴PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a. 44