复习参考题优秀教案设计

学案设计 第二章

点、直线、平面之间的位置关系

本章小结

学习目标

重点:空间直线、平面的位置关系,直线、平面平行的判定定理和性质定理,直线、平面垂直的判定定理和性质定理.

难点:空间中平行关系、垂直关系、平行与垂直关系之间的转化.

合作学习

一、知识结构

二、知识梳理

1.四个公理

2.直线与直线的位置关系

3.等角定理

4.直线与平面的位置关系

5.平面与平面的位置关系

三、【典例选讲】

学案设计

【例1】

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB和AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点.

变式训练1:如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证:P,Q,R三点共线.

【例2】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是

.

变式训练2:在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

(1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E,F分别为AB,AD的中点,求A1C1与EF所成的角的大小.

【例3】

如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,

学案设计 (1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:MN⊥CD; (3)若二面角P-DC-A大小为45°,求证:平面PMC⊥平面PDC.

变式训练3:如图,几何体E-ABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,CB=CD,EC⊥BD.

(1)求证:BE=DE; (2)若∠BCD=120°,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.

四、作业布置

必做题: 1.设l是直线,α,β是两个不同的平面(

) A.若l∥α,l∥β,则α∥β

C.若α⊥β,l⊥α,则l⊥β

B.若l∥α,l⊥β,则α⊥β

D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

2.如图,在空间四边形ABCD中,M∈AB,N∈AD,若

,则MN与平面BDC的位置关系是

.

3.如图,在四面体P-ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2

.F是线段PB上一点,CF=

,点E在线段AB上,且EF⊥PB.证明PB⊥平面CEF.

学案设计

选做题: 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2.

(1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE.

参考答案

二、1.四个公理及推论

公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.

四个公理的作用: (1)公理1:①检验平面; ②判断直线在平面内; ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.

(2)公理2:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.

(3)公理3:①判定两平面相交; ②作两平面相交的交线; ③证明多点共线.

(4)公理4:证明线线平行.

2.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

学案设计 平行共面直线

相交

异面直线(2)异面直线所成的角

①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围:0°<θ≤90°.

思考探究:如果两条直线没有任何公共点,则两条直线为异面直线,此说法正确吗? 提示:不正确.如果两条直线没有公共点,则两条直线平行或异面.

3.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

4.直线与平面的位置关系

(1)位置关系的分类

直线在平面内

直线与平面平行

直线在平面外

直线与平面相交(2)直线和平面平行的判定

①定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; ②判定定理:a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α; ③其他判定方法:α∥β,a⊂α⇒a∥β.

(3)直线和平面平行的性质定理: a∥α,a⊂β,α∩β=l⇒a∥l.

(4)直线与平面垂直的判定

①定义法; ②利用判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直; ③推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.

思考探究:能否将直线与平面垂直的定义中的“任意一条直线”改为“无数条直线”? 提示:不可以.当这无数条直线平行时,直线l有可能在平面α内,或者l与平面α相交但不垂直.

(5)直线和平面垂直的性质

①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线.

②垂直于同一个平面的两条直线平行.

③垂直于同一直线的两平面平行.

(6)直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.

当直线与平面垂直和平行(含直线在平面内)时,规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

学案设计 思考探究:如果两直线与一个平面所成的角相等,则这两直线一定平行吗? 提示:不一定.这两条直线的位置关系可能平行、相交或异面.

5.平面与平面的位置关系

(1)位置关系的分类

两个平面相交

两个平面平行(2)两个平面平行的判定

①定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; ②判定定理:a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b∥β⇒α∥β; ③推论:a∩b=P,a⊂α,b⊂α,a'∩b'=P',a'⊂β,b'⊂β⇒α∥β.

思考探究:如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面一定平行吗? 提示:不一定.如果这无数条直线互相平行,则这两个平面就可能相交.

(3)两个平面平行的性质定理

①α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b⇒a∥b; ②α∥β,a⊂α=a∥β.

思考探究:垂直于同一平面的两平面是否平行? 提示:不一定.两平面可能平行,也可能相交.

(4)平面与平面垂直的判定

①定义法; ①定义法; ②利用判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

(5)平面与平面垂直的性质

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

(6)二面角的有关概念

①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

三、【例1】

分析:对于(1)由EF∥CD1可得E,C,D1,F四点共面;对于(2)先证CE 与D1F相交于P,再证P∈DA即可得到CE,D1F,DA三线共点.

证明:(1)如图,连接EF,CD1,A1B.

∵E,F分别是AB,AA1的中点,

学案设计 ∴EF∥BA1.

又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F四点共面.

(2)∵EF∥CD1,EF

则由P∈CE,CE⊂平面ABCD, 得P∈平面ABCD.

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.

点评:平面的基本性质是研究立体几何的基础,公理3是将立体几何图形问题转化为平面几何图形问题的理论依据,在这里判断和证明点、线共面问题就显得十分重要了.

变式训练1:证明:因为AB∩α=P,AB⊂平面ABC, 所以P∈平面ABC,又P∈α,所以P在平面ABC与平面α的交线上.

同理可以证明Q,R均在这条交线上.所以P,Q,R三点共线.

【例2】

分析:将异面直线通过平行线“平移”为相交直线,则可以找到异面直线所成的角,再通过解三角形求解即可.

解析:过M作MK∥DN交棱CC1于点K,连接A1K,则∠A1MK就是异面直线A1M与DN所成的角(或其补角),设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,可以求得MK2= a2,A1M2=

a2,A1K2= a2,那么MK2+A1M2=A1K2,所以△A1MK是直角三角形,所以∠A1MK=90°,即异面直线A1M与DN所成的角是90°.

学案设计 答案:90°

点评:求异面直线所成的角,关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交,或将两条直线同时平移到某个位置,使其相交.平移直线的方法有:(1)直接平移;(2)中位线平移;(3)补形平移.

变式训练2:(1)60°;(2)90°.

【例3】

分析:(1)取PD中点E,连接AE,EN,转化为证四边形AMNE为平行四边形,即用线线平行来推导线面平行.(2)先证AB⊥平面PAD⇒AB⊥MN,再利用CD∥AB可得结论.(3)先由PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AD和∠APD=45°,E为PD中点⇒AE⊥PD⇒MN⊥PD.再由MN⊥CD证出MN⊥平面PCD.

证明:(1)取PD中点E,连接AE,EN, 则ENCDABAM, 故四边形AMNE为平行四边形, 所以MN∥AE, 又因为AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD, 所以MN∥平面PAD.

(2)因为PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥CD, 又因为AD⊥CD, 所以CD⊥平面PAD, 所以CD⊥AE, 又因为MN∥AE, 所以MN⊥CD.

(3)因为CD⊥平面PAD,所以CD⊥AD,CD⊥PD, 所以∠PDA就是二面角P-DC-A的平面角,即∠PDA=45°,

学案设计 由PA⊥平面ABCD, 所以PA⊥AD,那么△PAD为等腰直角三角形, 因为E是PD的中点,所以AE⊥PD, 又AE∥MN,所以MN⊥PD, 根据(2)的结论MN⊥CD,且PD∩CD=D, 所以MN⊥平面PDC, 又MN⊂平面PMC, 所以平面PMC⊥平面PDC.

点评:本题综合考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、线线垂直的证明以及线面平行的判定,是对立体几何知识的综合考查.培养了学生平面与空间及线线关系、线面关系、面面关系的转化能力.

变式训练3:

证明:(1)取BD中点O,连接OC,OE,则由BC=CD知,CO⊥BD, 又EC⊥BD,EC∩CO=C,所以BD⊥平面EOC.

所以BD⊥OE,即OE是BD的垂直平分线, 所以BE=DE.

(2)取AB中点N,连接MN,DN,DM, 因为M是AE的中点,所以MN∥BE, 又MN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC, 所以MN∥平面BEC.

又因为△ABD是等边三角形,所以∠BDN=30°.

又CB=CD,∠BCD=120°可知,∠CBD=30°, 所以ND∥BC,又DN⊄平面BEC,BC⊂平面BEC,

学案设计 所以DN∥平面BEC.

又MN∩DN=N

所以平面MND∥平面BEC,又DM⊂平面MND,所以DM∥平面BEC.

五、必做题:1.B 2.MN∥平面BDC

3.证明:因为PA2+AC2=36+64=100=PC2, 所以△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形, 同理可证△PAB是以∠PAB为直角的三角形,△PCB是以∠PCB为直角的三角形, 故PA⊥平面ABC.

又因为S△PBC=

·BC·PC=

×6×10=30, 而

·PB·CF=

×2

=30=S△PBC, 故CF⊥PB.又已知EF⊥PB, 所以PB⊥平面CEF.

选做题:

证明:(1)因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC, 又因为DE⊄平面A1CB,BC⊂平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB.

(2)由已知AC⊥BC且DE∥BC,所以DE⊥AC, 所以DE⊥A1D,DE⊥CD,所以DE⊥平面A1DC.

而A1F⊂平面A1DC,所以DE⊥A1F, 又因为A1F⊥CD, 所以A1F⊥平面BCDE,所以A1F⊥BE.