探究与发现 为什么y=±b／a x是双曲线x2／a2 －y2／b2 =1的渐近线优质课一等奖

一师一优课教学设计

年级 高二 科目 数学 主备教师___周海波____

课题内容

x2y2b探究与发现：为什么yx是双曲线221的渐近线

aab本课是人教版高中数学选修1-1第二章第二节双曲线“探究与发现”的教材x2y2b内容。对课本《为什么yx是双曲线221的渐近线》一文的探分aab教析

究。

学教资学源用人教版高中数学选修1-1课本、多媒体课件、几何画板

分具

析

学高二学生在学习过双曲线后，对双曲线得渐进线有了一定认识，但没有情通过严格的证明来论证渐近线。本课在此基础上，让学生通过多种方法的探分究来证明双曲线的渐进线。此外，本课也是在学习过导数之后的一节探究析

课，可能会有学生想到用导数证明的方法。

知识1.了解双曲线的渐近线的基本概念；

与2.了解双曲线的渐近线的推导过程； 技3.会根据双曲线的渐近线的性质解决一些有双曲线的问题

能

过通过对双曲线概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过教程对双曲线标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，提高学与学生运用坐标法解决几何问题的能力，并渗透数形结合和等价转化的数学思目方想方法

标法

分情析

感态度本课让学生在获得探究体验的基础上，通过合作交流形成共识。探究激与发学生的学习兴趣和创新意识，培养学生用联系的观点认识问题。

价值观

重点分双曲线渐进性概念的形成与理解

析

难点分双曲线渐近线的推导过程

析

一、复习引入：

教学过程

x2y2过双曲线221的两顶点A1,A2，作Y轴的平行线xa，经过abB1,B2作X轴的平行线yb，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线bxy所在直线方程是yx（0），这两条直线就是双曲线的渐近线

aab

yQB2A1OB1NMA2x二、提出问题

问题1：渐近线的定义是什么？（由一位学生回答）

渐近线是指：曲线上一点M沿曲线无限远离原点或无限接近间断点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

如图，双曲线上一点M，过M向y

bx作垂线段，垂足为M，随着M点a远离，线段MQ似乎在逐渐变小。

演示：用《几何画板》在双曲线的图象上作出曲线上的点到渐近线的距离，引导学生思考下面问题。

问题2：如何证明呢？

三、学生合作讨论

学生分组讨论10分钟，讨论过后请每个小组派一位同学讲解小组讨论后的证明方法。

方法1：（铅锤线法）相同横坐标下，求直线与曲线纵坐标之差

b2xa2xa，设M(x,y)是双曲线上的点，N(x,Y)是直线abbyx上与M有相同横坐标的点，则Yx。

aab2babxa2x1()2xY，所以

因为yaaxaybb(xx2a2)(xx2a2)22MNYy(xxa)aaxx2a2

ab(xx2a2)b设yx倾斜角为，则QMN为定值，MQMNcos，

a故随着x无限增大，MQ无限接近于零。

方法2：（距离公式法）直接引用点到直线距离公式

设M(x0,y0)，M到ybxay0b

x的距离d=022aab

22x0y022又因为221，得b2x0a2y0a2b2，(bx0ay0)(bx0ay0)a2b2，

aba2b2a2b2，所以d=

所以(bx0ay0)=22(bx0ay0)bx0ay0ab又由于a0,b0,x00,y00

所以d随着x0,y0增大而趋向0

方法3：（导数法）对第一象限的曲线函数求导

b2b对函数yxa2求导，得y'aax2b=x2a2a1

a212xbx2y2设yxm（其中m0），与221联立，aab

b2(xm)x2m22mxa得21，即21ab2bab在m0时，显然只有一个根，故曲线无限靠近该直线

方法4：（极线法）需要提示学生：由高等几何知识可知，在平面上引入无穷远元素，渐近线和曲线相切于无穷远点，因此，二次曲线的渐近线也可以定义为，在平面上，二次曲线上无穷远点处的切线。

xxyyx2y2双曲线221在曲线上一点P(x0,y0)处的切线方程为02020

ababb2x0b2bx0b即y2x，因为y0x0a2，得yxx

22ay0aaax0aa1()2x0b随着x0趋向无穷大，直线趋向于yx3 a

找到具有以上方法的学生小组，并投影其过程，让学生讲解给全班同学。教师再补充。其中第4种方法作适当提示。

四、例题应用

例1、P为双曲线x2y21右支上的一个动点。若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____________ 解：渐近线xy0与xy+10平行，得到平行线距离为大值即为

2，故c的最22

2

x2y2例2、已知双曲线221绕原点顺时针旋转，(0,2]，得到的曲ab线C始终不是一个函数，则离心率的取值范围____________ 解：几何画板演示，发现双曲线开口大于等于等轴双曲线时满足题意，而等轴双曲线的离心率为2，则离心率取值范围是(1,2]

你还能列举其他双曲线的渐近线吗？

例如反比例函数、双钩函数、双撇函数

五、课堂小结

本节课通过探究双曲线渐近线的证明方法，学会了任何数学问题都需要形成基本的概念，然后才能进行严格的论证，并在证明过程中发现数学的奥秘。

渐近线，是圆锥曲线中双曲线所特有的一道靓丽的风景线。

有了渐近线，双曲线的轨道有了可靠的护栏；有了渐近线，我们不难了解到离心率对双曲线张口大小的影响；有了渐进线，我们可以较准确地画出双曲线的草图；有了渐近线，我们对“曲”、“直”之间存在着这种和谐统一之美，有了更深刻的认识和理解。

探究式教学是建构主义学习理论的一种教学实践模式。探究式课堂的特点是学生通过合作交流、自主探究获得新知识。

通过教学情境中具体的学习活动，自主探究、合作交流，引导学生发现并提出数学问题，并在作出合理推导的基础上，形成双曲线的渐近线的概念。

教学反思