3.1.1 空间向量及其加减运算课时教学实录

空间向量及其线性运算

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：



了解空间向量的概念，体会向量由平面向空间的推广过程．



掌握空间向量的线性运算，掌握向量共线的充要条件．



掌握空间向量的数量积，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．

重点难点：



重点：空间向量的线性运算和空间向量的数量积；空间向量共线与垂直的充要条件．



难点：空间向量的数量积，空间向量共线与垂直的充要条件．

学习策略：



把向量的研究范围从平面扩大到空间，就得到空间向量，因此，空间向量是平面向量的推广，学习空间向量的相关概念及其运算时，完全类比平面向量的概念及其运算．

二、学习与应用

三、

“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识点一：空间向量的相关概念

（一）空间向量的定义：

在空间，我们把具有 的量叫做向量．

与平面向量一样，空间向量也用

表示；记作：

．

注意：

（1）空间中点的一个平移就是一个向量；

（2）数学中讨论的向量与向量的 无关，只与 有关，只要不改变 ，空间向量可在空间内任意 ，故我们称之为自由向量．

（二）空间向量的长度（模）：

表示空间向量的有向线段的 叫做向量的长度或模，记作 1

（三）空间向量的有关概念：

零向量：长度为 或者说起点和终点 的向量，记为 ．

单位向量：长度为 的空间向量，即|a| ．

相等向量：方向 且模

的向量．

相反向量：方向 但模

的向量．

共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或 ．a平行于b记作 ．

共面向量： ，叫做共面向量．

两个规定：

（1） 与任意向量平行；

（2） 与任意向量垂直．

注意：

（1）当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是 直线，也可能是 直线．

（2）向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是

的．

（四）两个向量的夹角

已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作向量OAa，OBb，则AOB叫做a与b的 ，记作 ．

规定：a,b的取值范围是

当a,b0或时，向量a与b ，记作 当a,b2时，向量a与b ，记作 知识点二：空间向量的加减法

因为空间任意两个向量是共面的．定义空间向量的加法、减法、数乘向量及运算律与平面向量一样．

（一）空间向量的加减法运算

（1）如图,若OAa,ABb，

2

则OB

（2）如图，若OAa,OBb

a O a A b b a－b

B

则BA （二）空间向量的加法运算律：

加法交换律：ab 加法结合律：(ab)c 注意：空间向量加法的运算律要注意以下几点：

（1）首尾相接的若干向量之和，等于

，即：A1A2A2A3A3A4An1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为

的向量；

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为

，即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA1

；

知识点三：空间向量的数乘

（一）实数与空间向量的积的定义：

实数与向量a的积是一个

，记为

，模和方向规定如下：

|a| (R)

当0时，a与向量a的方向

；

3

当0时，a0；

当0时，a与向量a的方向

．

（二）实数与空间向量的积的运算律：

设、为实数，则有

结合律：（a)

第一分配律：()a

第二分配律：(ab)

（三）共线向量定理和共面向量定理

共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是 ．

共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与a、b共面的充要条件是 ．

知识点四：空间向量的数量积

（一）数量积定义

已知空间两向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的 ，记作 ，即ab ．

注意：空间两向量的数量积是一个

，实数与空间向量的积是一个

．

（二）空间向量数量积的运算律

（1）ab （交换律）；

（2）a(bc) （分配律）；

（3）(a)b (R)

（三）空间向量数量积的性质

设a,b是非零向量，e是单位向量，则

（1）aeea|a|cosa,e；

（2）ab0 ；

（3）|a|2 或|a| ；

（4）cosa,b ；

（5）|ab| |a||b|

4

经典例题-自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#285416

类型一：空间向量的线性运算

例1．已知在平行六面体ABCDA'B'C'D'中，设CDa，CBb，CC'c，试用向量a、b、c来表示向量CA、CA'．

总结升华：

举一反三：

【变式1】在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量AC1的共有（ ）

①ABBCCC1

②AA1A1D1D1C1 ③ABBB1B1C1

④AA1A1B1B1C1

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【变式2】如图，设四面体ABCD的三条棱ABb，ACc，ADd，Q为△BCD的重心，M为BC的中点，试用b、c、d表示向量DM、AQ．

【变式3】如图，平行六面体A1B1C1D1—ABCD，M分AC成的比为12，N分A1D成的比为2，设ABa，ADb，AA1c，试用a、b、c表示MN．

5

例2．如图，已知长方体ABCDA'B'C'D'，化简下列向量表达式：

（1）AA'CB；（2）12AD12AB12A'A．

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式：

（1）AA1A1B1；

（2）112A1B12A1D1；

（3）AA112A11B12A1D1；

（4）ABBCCC1C1A1A1A．

【变式2】已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC、CD的中点，则MGABAD等于（ ）

A．32DB B．3MG C．3GM D．2MG

例3．已知正方体ABCDA'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，求下列各式中x、y、z的值：

（1）BD'xADyABzAA'；

6

（2）AExADyABzAA'．

举一反三：

【变式】已知ABCDA'B'C'D'是平行六面体．

（1）化简12AA'BC23AB，并在图中标出其结果；

（2）设M是底面ABCD的中心、N是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点，设MNABADAA'，试求、、的值．

例4．若三棱锥O一ABC中G是ΔABC的重心，求证：OG13(OAOBOC)．

总结升华：

举一反三：

【变式1】在如图所示的平行六面体中，求证：ACAB'AD'2AC'．

7

【变式2】如图，在四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点，试证：EF12(ABDC)．

类型二：共线向量定理的应用

例5．已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．（1）用向量法证明BD∥平面EFGH；（2）设M是EG和FH的交点，求证：对空间任意一点O，有OM14(OAOBOCOD)．

总结升华：

举一反三：

【变式1】设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB2e1ke2，CBe13e2，CD2e1e2，若A、B、D三点共线，求k的值．

解：

【变式2】V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，VP13VC，8

VM23VB，VN23VD．求证：VA∥平面PMN．

【变式3】如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点．

求证：平面EFG∥平面AB1C．

类型三：空间向量的数量积的计算

例6．已知|a|2，|b|3，a,b60，求|2a-3b|的值．

解：

举一反三：

【变式1】已知向量a、b、c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|ab2c|等于（ ）

A．5

B．5

C．6

D．6

【变式2】设ab，a,c3，b,c6，且|a|1，|b|2，|c|3，则向量abc的模是 ．

【变式3】已知：abc0, |a|3,|b|1,|c|4，试计算abbcca．

9

解：

类型四：利用空间向量的数量积求线段的长度

例7．在直二面角的棱上有两点A、B，AC和BD各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB，设AB=8cm，AC=6cm，BD=24cm，求CD的长．

总结升华：

举一反三：

【变式1】已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，求线段PC的长．

【变式2】已知平行六面体ABCDA'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA′=5，10

BAD90，∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC＇等于（ ）

A．85 B．85 C．52 D．50

类型五：利用空间向量的数量积求异面直线所成的角

例8．正四面体S—ABC中，E、F分别为SA和BC的中点，求异面直线BE和SF所成角．

S E A C F B

总结升华：

举一反三：

【变式1】如图所示，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，求异面直线OA与BC所成角的余弦值．

【变式2】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB111

的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值是（ ）

A．32

B．102310

C．5

D．5

【变式3】正四棱锥CABDE中，CAAB2，M，N分别是AC，BC的中点，求EM，AN所成角的余弦值．

CNMAE BD

类型六：空间向量的数量积在立体几何中的应用

例9．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点M、N分别是边AB、CD的中点．

（1）求证：MN为AB和CD的公垂线；

（2）求MN的长；

（3）求异面直线AN与MC所成角的余弦值．

总结升华：

举一反三：

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【变式】如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．

（1）求AC1的长；

（2）求AC1与面ABCD所成的角．

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

（一）空间向量的加法与减法如何进行运算？

（二）共线向量定理的用途是什么？

（三）如何利用向量知识求线段的长度？

（四）如何利用空间向量知识求异面直线所成的角？

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