3.1.2 导数的概念教案和学案内容

【教学课题】：

导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。

【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。

【教学过程】：

一）

导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1

（以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：s(t)12gt，t[0,T]，求：落体在t0时刻（t0[0,T]）的瞬时速度。

2t0t

问题解决：设t为t0的邻近时刻，则落体在时间段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度为

v若tt0时平均速度的极限存在，则极限

s(t)s(t0)

tt0vlimtt0s(t)s(t0)

tt0为质点在时刻t0的瞬时速度。

问题2

（以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线yf(x)上点M(x0,y0)，求：M点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C及曲线C上的一点M，如图，在M外C上另外取一点N，作割线MN，当N沿着C趋近点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极

1

限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线。

问题解决：取在C上M附近一点N(x,y)，于是割线PQ的斜率为

tanyy0f(x)f(x0)（为割线MN的倾角）

xx0xx0当xx0时，若上式极限存在，则极限

ktanf(x)fx(0)（为割线MT的倾角）

limxx0xx0为点M处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问

题的解决都归结到求形如

limxx0f(x)f(x0）

（1）

xx0的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。

三）

导数的定义

定义

设函数yf(x)在x0的某邻域内有定义，若极限

xx0limf(x)f(x0）

xx0存在，则称函数f在点x0处可导，并称该极限为f在点x0处的导数，记作f'(x0)。即

f'(x0)limxx0f(x)f(x0）

（2）

xx0也可记作yxx，odydx，xxodf(x)。若上述极限不存在，则称f在点x0处不可导。

dxxxof在x0处可导的等价定义：

设xx0x,yf(x0x)f(x0)，若xx0则等价于x0，如果

函数f在点x0处可导，可等价表达成为以下几种形式：

2

f'(x0)limxx0yf(x)f(x0）

（3）

f'(x0)limx0xxx0f'(x0)limx0f(x0x)f(x0）

（4）

xf'(x0)lim四）

f(x0)f(x0）0

（5）

利用导数定义求导数的几个例子

例1

求f(x)x2在点x1处的导数，并求曲线在点(1,1)处的切线方程。

解

由定义

yf(1x)f(1)(1x)21f(1)limlimlim

x0xx0x0xx'2xx2limlim(2x)2

x0x0x于是曲线在(1,1)处的切线斜率为2，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1。

例2

设函数f(x)为偶函数，f(0)存在，证明：f(0)0。

证

'f(x)f(x

)

f(x)f(x

)f(0x)f(0)f(x)f(0)lim

x0xxf(x)f(0)f[0(x)]f(0)limf(0)

x0xx

又f(0)lim

x0

limx0f(0)0

注意：f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。此题的0为x。

1xsin,x0x例3 讨论函数f(x)

在x0处的连续性，可导性。

0,x0解

首先讨论f(x)在x0处的连续性：limf(x)limxsinx0x010f(0)

x即f(x)在x0处连续。

再讨论f(x)在x0处的可导性：

3

x0limf(0x)f(0)limx0x

xsin101x

此极限不存在

limsinx0xx即f(x)在x0处不可导。

问

怎样将此题的f(x)在x0的表达式稍作修改，变为f(x)在x0处可导？

1n1xsinx,0x答

f(x)

n1,2,30,x0四）可导与连续的关系

，即可。

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设f(x)在点x0可导，则

yf'(x0)

x0xlim由极限与无穷小的关系得：

yf'(x0)xo(x)，

所以当x0，有y0。即f在点x0连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。

五）

单侧导数的概念

例4 证明函数f(x)|x|在x0处不可导。

证明

x0limf(x)f(0)xf(x)f(0)xlim1limlim1

，x0xx0x0xx0x0limx0f(x)f(0)极限不存在。

x0故f(x)|x|在x0处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义

设函数yf(x)在点x0的某右邻域(x0,x0)上有定义，若右极限

x0limf(x0x)f(x0）ylim

（0x）

x0xx存在，则称该极限为f在点x0的右导数，记作f'(x0)。

左导数

f'(x0)ylim。

x0x左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数yf(x)在点x0的某邻域内有定义，则f'(x0)存在f'(x0)，f'(x0)都存在，且f'(x0)=f'(x0)。

4

例5

设f(x)解

由于

1cosx, x0，讨论f(x)在x0处的可导性。

x0x

, f'(0)limx0f(x0x)f(x0)1cosxlim0

x0xxf(x0x)f(x0)xlim1

x0xxf'(0)limx0从而f'(0)f'(0)，故f(x)在x0处不可导。

六）

小结: 本课时的主要内容要求：

①

深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；

②

注意f'(x0)limf(x0)f(x0）这种形式的灵活应用。

0③

明确其实际背景并给出物理、几何解释；

④

能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤

明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。

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