阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用国家获奖教案

圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计

一、教材分析

《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》2.3节的一段阅读与思考材料，主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及应用，教学需要1个课时. 所学内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中“数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.”这一学科定位在这节课中也得到相应体现. 课堂上，学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，由于三种圆锥曲线的性质可以进行适当的类比，所以在教学中重点探讨椭圆的光学性质及其应用.课后，学生完成课外作业或查阅相关资料，类比课堂上所学方法可继续对其他曲线进行研究. 二、学情分析

学生在初中物理课上已经学习了光的反射原理，高中又学习了圆锥曲线的概念和简单几何性质，因此对圆锥曲线光学性质的理解有一定的基础.但作为文科重点班的学生，他们并不满意仅仅了解圆锥曲线光学性质，还需要了解为什么具有这样的性质，对其证明也充满着求知欲.此外，本课内容出现在《阅读与理解》这一专栏，故而课堂上还要重视对学生阅读能力的培养．

考虑到文科生理性思维能力弱，多数学生思维只停留在照章循事，机械化程序化解题，在思考问题方面，偏重形象思维，故本节课借助几何画板利用垂直平分线构造椭圆的方法，为椭圆的光学性质的证明提供了直观简洁的依据，也为课外学生证明双曲线、抛物线的光学性质提供类比的依据．另外，课本是从相对简单的抛物线光学性质开始编排，但是学生首先学习的是椭圆，对椭圆更熟悉一些，因此本节课的教学设计改变了教材编排顺序，从椭圆光学性质学习开始，由易到难，由直观到推理，逐步引向思维深处．那些数学思维较弱的学生，通过配套微课的提前学习，也能较好适应课堂节奏.

三、教学目标分析

1、学会阅读数学材料，进一步培养从材料中提取信息的能力. 2、了解三种圆锥曲线的光学性质及应用，知道椭圆光学性质的数学证明. 3、能应用椭圆的光学性质解决数学问题. 四、教学重点和教学难点

教学重点：圆锥曲线的光学性质，应用椭圆的光学性质解题

教学难点：椭圆光学性质的数学证明

五、教学难点突破策略

先引导学生从圆与椭圆的关系出发，得出椭圆的切线性质1，然后通过实验直观地验证椭圆的光学性质，学生再动手完成光路图，在此过程中会发现椭圆的光学性质与切线性质1其实是等价的，只需要说明中垂线是椭圆的切线即可.课堂时间有限，学生作为课后作业使用反证法很容易证明. 为了全方位的理解这一性质，联想之前学过的点差法，从运动的角度对切线的斜率作定量的分析，既为应用性质提供方便，提醒学生利用解析法研究光学性质，还巩固了解析几何设而不求的思想.基于以上多层次、多角度的引导，达到突破难点的目的. 六、教学工具：多媒体投影，数字展台，平面镜，激光笔，椭圆形硬纸板.

- 1 -

七、教学过程

教学

环节

一、

复习回顾

教学过程

师：近段时间，我们对三种圆锥曲线进行了研究，发现它们有很多相似的特点，比如说，它们的定义都与平面内的“两定”有关，到两个定点的距离之和为常数（常数大于两定点间的距离）的动点轨迹就是椭圆，换为距离之差的绝对值为常数(常数小于两定点间的距离)的动点轨迹是双曲线，到定点的距离等于到定直线的距离的动点轨迹是抛物线，注意定点在定直线外. 此外，三种曲线与圆还有重要的联系，请完成学案上的活动1.

活动1

如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的运动轨迹是什么？为什么？

师生活动

复习三种圆锥曲线的定义，揭示它们之间的联系.

学生在导学案上完成活动1，教师提问，学生在幻灯片上展示自己的过程。

设计意图

通过复习三种圆锥曲线的定义，既为活动1的顺利进行创造条件，也为学生课后类比椭圆完成双曲线、抛物线光学性质证明奠定基础。

活动1是课本上学完椭圆概念后的一道习题，学生都做过，设计这一活动的目的是让学生明白：简单习题的背后，可能藏着更为深刻的知识和规律，需要我们善于思考，敢于探究.

椭圆的切线的性质1其实与光学性质等价，然而要是介绍完光学性质再来想这样证明就比较困难了.学生完成光路图后会发现性质1的价值，故性质1是为光学性质的数学证明埋下伏笔.

生：连接QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=r，又点A在圆内，故|OA|<|OP|，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.

师：解决这个问题很简单，但如果就这样结束了，师生共同探会有入宝山而空手回的遗憾，我们用几何画板来究椭圆切线探索一下.(打开几何画板) 的性质1，考虑到中垂线QM与椭圆已有公共点Q，只需证明再无别的公共点就能说明QM与椭圆相

切，学生用反当点P在圆上运动时，PA的中垂线与椭圆的证法能够证位置关系是相切，设PA的中点是M，由PA是中明，在微课作垂线知△PQM与△AQM全等，∠PQM=β，所以业上已完成

有α=β，我们得到椭圆切线的一个性质，切线与

切点处的两条焦半径所成的角相等.

- 2 -

二、

拓展提升

椭圆切线的性质1 切线与切点处的两条焦半径所成的角相等. 焦半径是指连接椭圆上的点和焦点的线段. 师：借助坐标法，还能求出切线的斜率，请观察图形，思考如何计算切线的斜率？

生1：设l的方程为点斜式，与椭圆方程联立，根据判别式为0求出切线斜率. (该方法比较自然且容易想到，但是计算量繁琐，且没有把握所给图形的特征，可让其课后尝试一下) 生2：设P(x0, y0)，Q(x1, y1).将P，Q坐标代入椭y1-y0y1+y0b2-2，圆方程，再相减整理后得：x1-x0x1+x0ay-y0其中1表示割线斜率．如图,当点Q从Q1，x1-x0Q2

，Q3……趋近于点P时，割线PQ趋近于切线，2yb此时有k切0=2. x0a(该方法能很好的利用所给的特征，但是需要及时回忆起点差法，基础较好的同学能够想到) 师：我们把它叫做椭圆的切线性质2：椭圆x2y2+1

(ab0)在点P(x0, y0)(y0≠0)处的切a2b2b2x0线斜率为2. ay0当点P在y轴上时，切线斜率为0，这个式子适用；当点P在y轴上时，切线斜率不存在．焦点在y轴上时可根据类似方法进行推导，这里就不再赘述．

师：如此细致地研究圆锥曲线，一个很重要的目的，就是希望将它们应用于实践，而一个近乎神话的例子就是古代罗马与叙拉古的技术战，现在让我们重返这一传奇时刻．(播放罗马与叙拉古之战视频)

师：纪录片中，阿基米德将抛物线的光学性质用到了极致，那么圆锥曲线究竟有哪些光学性质，这是本节课探讨的主要内容，请阅读教材65页的- 3 -

学生观察所给图形特征，思考切线斜率计算过程.

教师点拨学生的解法，指明优点和不足，对于点差法所得结果要说明特殊的适用情形

学生观看视频，体会光学性质的应用价值

呈现本节课课题——圆

性质2的得出是为应用椭圆光学性质提供帮助，也指明坐标法是研究椭圆的一项有利工具，设而不求的思想也在推导过程中得到强化.

从历史上抛物线光学性质的传奇应用来激发学生的学习兴趣，为其他曲线的光学性质学习提供一

二、

拓展提升

《圆锥曲线的光学性质及其应用》，然后完成学案锥曲线的光上的活动2。

学性质及其活动2

阅读教材65页的《圆锥曲线的光学性质应用.

及其应用》，请思考从椭圆，双曲线和抛物线的焦

点发出的光经过反射后会有怎样的光学性质？

椭圆的光学性质：

_______________________________________________________________

双曲线的光学性质：__________________________________________

___________________ 抛物线的光学性质：__________________________________________通过对阅读材料的思考,___________________ 生1：椭圆的光学性质

从焦点发出的光线，经归纳整理圆锥曲线的光椭圆反射后，反射光线交于另一个焦点上.

生2：双曲线的光学性质

从焦点发出的光线，经学性质

双曲线反射后，反射光线的反向延长交于另一个焦点上.

生3：抛物线的光学性质

从焦点发出的光线，经抛物线反射后，反射光线都平行于对称轴.

师：物理课上，我们学习过光的反射定律，也会作光路图，比如已知AO是入射光线，作出法线

和反射光线，过入射点作镜面的垂线得到法线，在入射光线AO上任取一点P作镜面的对称点P1，连接P1和入射点O便能作出反射光线.那么当反

射面是曲面时，又如何作光路图呢？

AO

教师提问，学生回忆初中物理学过的光的反射定律及相关知识. 生：先过入射点作镜面的切线，再过入射点O作切线的垂线就是法线，入射光线AO上任取一点A

作镜面的对称点A',再连接A'O就得到反射光线，光路图就完成了.

师：根据以上事实，以椭圆为例，请作出反射光路图，验证椭圆的光学性质

活动3

以椭圆为例，入射光线为F1P，请作出法

线和反射光线.

学生在学案上完成活动3的光路图

- 4 - 个良好的开端

学生体会到阅读与思考的成就感，培养从阅读中提取信息的能力

通过复习光反射的相关知识，一方面可从光路图上验证椭圆的光学性质，另一方面为探究证明提供依据.

活动3的目的在于，学生在理解椭圆光学性质的同时，还能从图形悟出光学性质与切线性质1等价

二、

拓展提升

师：除了光路图外，借助简单的工具也可以用以

一方面实验简下实验来说明.(使用激光笔，平面镜，椭圆形硬化了光路图，纸板教师在展台上现场演示)如果时间不允许，也学生观察实从结果与切线验，如果有条性质1对比发可在电脑上播放微课视频中的光学实验

件和时间充现是一回事，裕的情况下，另一方面实验可让学生亲得到椭圆的光自动手做这学性质的真实个实验通过性，较为直观作光路图和的验证所学知实验，学生应识，学生也能该能看出，通真切体会到数学并不遥远，

过性质1就师：想了那么多办法来验证椭圆光学性质，我想能证明光学就在我们身边

告诉大家的是——其实我们已经在数学上证明了性质. 这一事实，请各位仔细观察. 活动4

以椭圆为例，请思考如何证明它的光学性质.

生：由α=β,法线与切线垂直，根据等角的余角相等，可推出法线平分

∠F1PF2，即从焦点发出的光线，经椭圆反射后过另一焦点. 光学性质除了在生活中有很大的应用价值外，它也是解决数学问题的一大有利武器，只要方法掌握好，高考题其实也很简

三、

应用示例

师：圆锥曲线的光学性质也是高考的命题重点，结合所学知识，请完成活动5练习.

学生在学案上完成活动5. 随机抽取x2y2活动5

(2010•安徽改编) 已知椭圆+=1，F1，1612学生边在展F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(2，3)在椭圆上，台上展示书求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程.

写的过程同生：解：由椭圆的光学性质，AM为椭圆在点A时，边讲解思处的法线.

设在A处的切线方程为y-3=k(x-2).联路，教师对解题规范作适- 5 -

1立方程，消去y，整理并令△=0，解得k.故2直线AM的方程为y-3=2(x-2)，即2x-y-1=0. b2x0教师适当提醒，由于我们知道k切=2，所ay0以并不需要知道联立后所得方程的具体形式，只需把所给数据代入即可算出切线斜率，从而节省了很多时间，做题时要灵活掌握.可在课后让学生思考在椭圆某点处的切线方程如何推导. 当点评.如果单.

有时间，可适当引导学生多种方法解决这一问题，以便让学生比较不同方法的特点，如：角平分线性质，向量夹角，正弦定理等.

学生回顾和总结本节课所学知识和方法

通过口诀形式总结所学知识，不但简洁明了而且学生容易记住.

四、

反思总结

经学生口述后，教师整理成以下口诀：

椭圆双曲性质显，若是光源在焦点，

两个焦点有关联，椭圆汇聚另一点，

双曲则在延长线，抛物反射平行轴. 圆锥曲线应用广，古往今来在发展. 切线斜率莫要忘，设而不求点差算. 除了本课视频中展示的抛物线光学性质和微课中椭圆的光学性质外，教师可视情况展示其他方面的实际应用，如利用抛物线聚焦作用发明的太阳能灶和卫星接收器，转角镜和汽车后视镜利用双曲线镜面能扩大视野，椭圆的光学性质在电影放映机上也起着重要作用. 1、

结合下列所给阅读材料，证明双曲线和抛物线的光学性质．

(1)

(教材P54习题2.2A组第5题) 如图1，圆

O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，当点P在圆周上运动时，点Q的运动轨迹是双曲线，直线l与双曲线相切．

(2)

(教材P56信息技术的应用) 如图2，点F

是定点，l是不经过点F的定直线．H是l上任意一点，过点H作HM⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，点M的运动轨迹是抛物线，l是其准线，直线m与抛物线相切．

五、

课后作业

2、(2013•山东，理22)

学生课后类比椭圆的光学性质的证明，通过所给材料，可以证明双曲线和抛物线的光学性质.

证明双曲线和抛物线的光学性质，目的让知识系统完整，让学生学会类比迁移.

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五、

课后作业

x2y2椭圆C：221(ab0)的左、右焦点分别ab

3是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的

2直线被椭圆C截得的线段长为l. 教师要注意(1) 求椭圆C的方程； 指正学生答(2)

P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接题过程的错PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线

PM交C的长误，尤其书写轴于点M(m，0)，求m的取值范围； 规范性更应(3) 在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，强调.对于选使得l与椭圆C有且只有一个公共点，

设直线做题，可让班PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明上优秀生尝11试解答.

为定值，并求出这个定值. kk1kk2选做

(2005•江西，理22改编)

设抛物线C：yx2的焦点为F，动点P在直线l：xy20上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. 证明：∠PFA=∠PFB.

圆锥曲线的光学性质及其应用

1、椭圆的切线性质1

4、双曲线的光学性质

2、椭圆的切线性质2

5、抛物线的光学性质

3、椭圆的光学性质

两道习题的设置，目的是提高应用光学性质解决问题的意识，培养解题能力.

六、

板书设计

七、

课后反思

本节课后，我有以下总结和反思：

1、本节课的五个环节环环相扣，从学生熟悉的知识出发，通过实验观察，光路图直观验证，再到数学的严格证明，整个过程从从易到难，从直观到抽象层层递进，让学生知其然，更知其所以然.不足之处在于，从运动的观点来解决椭圆切线斜率稍显突兀，但是不解决斜率的计算而用光学性质又不太方便，利用隐函数求导或是伸缩变换等方法又存在其他方面的不妥，这是需要今后关注的一个问题.

2、五个学习活动让学生动手的机会增多，在做中学的同时，训练了他们的数学思维能力，从知道知识到应用知识的过程完成，也让他们加深了对所学知识的理解. 尽量创造条件，学生亲自动手做一下光学性质实验，让他们在动手学，学中思，学习的效果肯定更好，但是如何把控时间和有效引导是对教师的一大挑战.

3、想要短时间内提高学生的数学阅读能力是不可能的，这必将是一个持久坚持的过程，教师除教科书外还应当向学生推荐一些数学读物，不在多而在精.关于圆锥曲线方面的书，我淘到数学文化小丛书中的《圆锥截线的故事》，就比较适合学生看，当然必要的指导还是离不开的.

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