3.3.4 两条平行直线间的距离课时教学实录

课题：

《点到直线的距离》教学设计

授课教师：元氏县第一中学 王新端

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修2

一、教材分析

解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，本节对“点到直线距离”的探究，是从初中平面几何的定性作图过渡到高中解析几何的定量计算，推导此公式不仅完善了两条直线的位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的几何性质奠定了基础。更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中领悟蕴涵于公式推导中的数学思想和方法，化归思想和分类方法，引导学生由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生数学运算这一核心素养. 二、学情分析

学生在此之前已经学习了点点距离、线线位置关系，但是学生在用代数方法研究几何问题这方面比较薄弱，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的，这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的理念。

三、教学目标

通过让学生在实践中探索、观察、反思、总结，推导得出点到直线的距离公式并应用公式进行计算，领会渗透于公式推导中的数学思想(如化归思想、数形结合、分类讨论等数学思想)，掌握用化归思想1

来研究数学问题的方法，培养学生的观察、归纳等能力. 四、教学重难点

教学重点：点到直线的距离公式和简单应用. 教学难点：点到直线距离公式的推导

五、教法学法分析

本节课为了体现课堂教学中“教师为主导，学生为主体”的教学关系，和“以人为本，以学定教”的教学理念，我采用让学生动手操作、自主探究、合作交流及老师启发引导的教学方法,设计上力图体现从易到难、从特殊到一般的基本原则。 六、教学过程分析

（一）情景引入

我从学生已有的生活经验和已有的知识背景出发来创设情境，并给出一个具体实例—问题：在铁路MN附近P地要修建一条公路使之连接起来,问:如何设计才能使公路最短? 从这个实例出发，抽象得数学模型，让学生直观感受几何要素—“点到直线的距离”和我们的生活息息相关，从而能有效调动学生的学习兴趣，并引发思考。带着这个问题，我们从简单的例子入手，进入自主探究阶段. （二）自主探究

①求p(0,0)到x1的距离;②P(0,0)到y2的距离；③P(0,0)到直线2xy20的距离;

y21OP12x

2

本环节的设计意图：为了符合学生从特殊到一般的循序渐进的认知规律，在本环节我有层次的设置了三道题目，（展示ppt）题目1，2学生能够直接得到答案，题目3学生能够通过已有的平面几何知识得到答案，学生易想到的解法有定义法，三角函数法，等面积法，或相似三角形法.有了这一环节的铺垫，我直接抛出本节课的重点问题让学生进行合作探究. （三）合作探究

求p0(x0,y0)和直线l：Ax +By +C=0，如何求点P到直线 l 的距离？

本环节的设计意图：为了真正实现以学生为主体的教学，让学生真正地参与进来，我给了学生足够的时间让其探究，再小组讨论，最后小组展示讲解，教师点评。

由于思维局限性，学生容易想到以下几种思路: 思路一：过P作PQl于Q,根据点斜式写出PQ方程,由PQ与l联立方程组，解得Q点坐标，利用两点距离公式求得。

我及时的点评这种方法思路自然，是一种基本上的解决办法，让学生动手操作，在操作过程中由于计算太复杂，学生很难在有限时间内得到准确答案。

思路二：由自主探究环节能够想到构造直角三角形，在三角形 中利用相似三角形进行求解。设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R (x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S (x0，y2)，

3

由A1x1By0C0Ax0By2C0

得x1By0C,y2Ax0C

AB所以|PR||x0x1||Ax0By0C|

A|PS||y0y2||Ax0By0C|

B|RS|PR2PS2

A2B2|Ax0By0C|由三角形面积公式可知|AB|C|所以d|Ax02By0. 2ABd·|RS|=|PR|·|PS|. 思路三:仍然构造直角三角形，在三角形中利用等面积法进行求解。

在思路二和思路三的动手操作中，通过老师的适当引导，构造出直角三角形，并求得最终答案，逐步向学生渗透解析几何中，由代数方法向几何方法过渡的思想，通过师生互动，从思路一的自然接受到思路二三的巧妙构造使学生看到希望，为接下来圆锥曲线的学习提供思想与方法. 我提出以下问题：1.点P在直线上成立吗？2.公式的结构特点是什么？3.用公式时直线方程是什么形式？

通过学生的回答，使得学生了解公式适用的范围：任意点、任意直线、认识公式形式特点。

（设计意图：在探究问题的过程中体现了从特殊到一般的认识，体现了知识的完备性。

（三）巩固提高

接下来巩固提高阶段，使学生通过练习，熟悉公式结构、记忆并简单4

应用公式。

1、具体教学安排：

2 到直线 l:3x2的距离．

例1.

（1）求点P01， d|3(21)22|5

3032 到直线 l:2xy20的距离. （2）.求点

P01，解：d2222212

设计意图：例题来源课本，又进行了适当的变形。（1）一方面强调特殊问题特殊解决，另一方面强化学生对公式的记忆

和应用，带入公式前将直线方程化为一般式。

3，B3，1，C－1，0 ，求

ABC

的面积．

例2.

已知点

A1，255解：设AB边上的高为h，则

SVABC1|AB|h2. |AB|(31)2(13)222AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在直线方程为y3x1

1331即x +y 4 = 0. 点C到x + y

– 4 = 0的距离为h，

h|104|51212ABC，

15225

22因此，S设计意图：求三角形的面积是点到直线的距离的直接应用，又回归推导公式的思路二，达到有机统一。同时充分发挥学生的主观能动性，挖掘其他解决法，如几何割补法，相似三角形法，使直观的几何图形5

和代数关系紧密联系起来。同时也让学生感受了利用代数方法解决几何问题后，再回到几何本身的重要性。

（五）学生小结

先让学生总结本节的知识，方法，培养学生归纳概括能力，教师补充提炼数学思想。

设计意图：通过学生小结，当场验收课堂的效果，锻炼学生的表达能力和归纳概括的能力，使学生本节所学知识系统化、条理化进一步巩固知识明确方法. （六）拓展提高

拓展学生思维除了课堂上提到的方法还可以继续思考，如优化思路向量方法，留置课下探究。

（七）作业布置

为了检验学生的学习成果，我布置了以下作业：

作业1是课本习题，检查学生所学知识掌握的程度，作业2是课堂的延伸，拓展学生思维。

七、课堂反思

下面进入我说课的最后一个环节—课堂反思环节

在本节课中通过创设问题情境,自主探究，合作探究，学生展示和“多媒体辅助教学”，让学生在探索中获取和应用新知.采取小组总结发言, 提高学生的归纳、表达能力. 在自主探究与合作探究阶段均暴露了学生的计算能力薄弱，书写不规范，因此在接下来的教学中需要强化提升.

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