3.1.3 导数的几何意义教学设计及课堂实录

导数的几何意义应用

——切线方程（整合课）

教学目的：

本节课是在学生学习了导数，初步掌握了导数的几何意义的基础上求切线的需要。对于求“在某点处的切线”（确定了切点）是容易的，但对于求“过某点求切线”（不确定切点）的问题则解决起来有困难或者所求答案不完整。因此为了让学生对这一知识达到熟练掌握并能完整解决，从这个角度设计了本堂课。

教学目标：

1.熟练应用导数的几何意义解决切线问题

2.弄清“在某点处求切线”与“过某点求切线”的区别和联系

重点：利用导数几何意义完整解决切线问题

难点：对“过某点求切线”（不确定切点）问题的理解

教学过程

一．引入(同学们回忆上次月考试卷里的第14题) 134已知曲线C：y＝x＋，求经过点p（2,4）曲线C的

33切线方程为

这道题大多数同学做错或者答案不完整，为什么呢？

(设计目的：从同学们近期考试的题目引入，能让学生产生回忆和思考，让学生对比自己当时的思维过程，容易让学生产生浓厚的学习兴趣和探究的欲望）

二．复习回顾

函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点/P(x0,f(x0))处的切线的斜率，即k切线f(x0)，故曲线yf(x)在/点P(x0,f(x0))处的切线方程是yy0f(x0)(xx0)

三．例题讲解

我们如果把引例这样改编后，大家会做吗？

134例1 已知曲线C：y＝x＋，求曲线C在点p（2,4）处的切线方程 33分析：题目要求在点p(2,4)处的切线，因点p在曲线上，所以点p为切点，即切点是确定的，在点p(2,4)处的切线就只有一条。只要再求出切线的斜率，由点斜式写出方程就行了。

请同学们自主写出结果

2x（立马练习）求曲线f(x)=+1在点P(1,2)处的切线方程. 可鼓励学生讲解

（归纳整合）1.在曲线上某点处求切线的步骤

/kf(x0)

（1）求斜率切线（2）写方程yy0f/(x0)(xx0)

（3）化为一般方程

134例2 已知曲线C：y＝x＋，求经过点p（2,4）

33曲线C的切线方程

（引例）

分析：题目要求曲线过点p(2,4)的切线，也就是说切线一定要过点p，而点p未必是切点。当点p在曲线上时，点p当然是切点之一，然而在其他位置也可能有切点，这样切线可能就不止一条了，也就是说切点不明确。所以在求切线时，就需要先设切点

(x0,/kf(x0)这样解方程组 y0)，由导数得斜率切线4y0f/(x0)(2x0)

y0f(x0)

得切点

(x0,y0) ，从而写出所求切线的方程。

注意：上述方程组有几个不同解，所求切线就有几条，要保证完整性

解：设切点x0,y0 /2f(x)x由得切线斜率k2x0

2yyx(xx0) 00得切线方程为又切线过点p(2,4) 24yx(2x0)

00所以得方程又切点在曲线上所以得方程y0134x0 33

解方程组 4y0x0(2x0) y0134x

332得切点为（-1,1）或(2,4) 故切线方程为y1x1或y44(x2)

即

xy20或 4xy40

134例3、

已知曲线C：y＝x＋，求经过点p（1,3）

33曲线C的切线方程．

本题与例2相比有什么不同呢？

分析：与例2相比，例2中点p在曲线上，而例3中点p不在曲线上，但它们都是不确定切点的问题，所以可用例2的解法求解

（分组讨论后自主写出解答过程）

立马训练2 已知曲线y＝x2，

(1)求曲线过点P(1,1)的切线方程；

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程

（归纳整合）

2．求经过某点P(x1，y1)的曲线的切线方程的步骤

(1)设切点(x0，y0),利用所设切点表示斜率k＝f′(x0) (2) 根据点斜式写出切线方程y－y0＝k(x－x0) (3)把P(x1，y1)代入切线方程y－y0＝k(x－x0)得方程○1

(4)由切点(x0，y0)在曲线上得方程○2

(5)解方程○1○2得切点(x0，y0)后代人切线方程

y－y0＝k(x－x0) （6）将切线方程化为一般式

(设计目的：(1)三个例题从易到难的呈现，顺应学生的思维习惯，培养学生的思维能力，使学生思维跳动起来,学生更容易掌握。(2)三个例题是同一个问题的三种不同变式，能培养学生的判断和辨别能力）

四、课堂小结

关于切线问题

1.求函数曲线在某点处的切线（确定了切点）

2.过某点的曲线的切线（不确定切点）

(1) 这

个

某

点在曲线上

(2) 这

个

某

点不在曲线上

五．书面作业

已知函数f(x)x33x过点A（0，16）

做曲线yf(x)的切线，求切线方程

教学反思

本堂课教学内容上从学生做过的但易出错的题目切入，通过不同的变式由浅入深、由易到难的展开，便于学生接受和掌握，从而归纳方法和规律，形成解决问题的能力；形式上启发学生参与、师生互动，调动了学生自主学习的积极性。但是因学生计算方面的问题，在解三次方程组时遇到一些困难。因此在今后的教学中应注意学生计算能力的培养和提高。