3.1.2 导数的概念名师教学设计1

1.1.2导数的概念

（一）教材分析

本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具．

（二）教学目标

（1）在上一节学***均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

（3）会求函数在某点的导数及简单应用．

（三）教学重点与难点

重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．

难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．

（四）教学过程

1．复习引入

（1）函数yf(x)从x1到x2的平均变化率公式；

（2）函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率公式．

2．合作探究

在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的．我们把物体在某一时刻(某一位置)的速度称为瞬时速度．

探究一：瞬时速度的求解

从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．如何求运动员的瞬时速度呢？

设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度．

以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度．在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在关系ht4.9t26.5t10．

探究：如何求运动员瞬时速度？比如t2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？

设计意图：问题具体化，即求运动员在t2s时的瞬时速度．针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法．

我们求t2s的瞬时速度是多少，先察t2s附近平均速度的情况：

t0时，在2t,2这段时间内

h(2)h(2t)v_____________ 2(2t)当t0.01时，v___________ 当t0.001时，v___________ 当t0.0001时，v___________ t0时，在2,2t这段时间内

v_______________________ 当t0.01时，v___________ 当t0.001时，v___________ 当t0.0001时，v___________

当t0.00001时，v___________ 当t0.000001时，v___________ 当t0.00001时，v___________ 当t0.000001时，v___________ ……

……

设计意图：熟悉符号，让学生在亲自计算的过程中感受逼近的趋势．

合作探究：（1）当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

设计意图：让学生经历观察、分析、归纳、发现规律的过程，体会瞬时速度的含义．

（2）我们如何表示运动员在t2s时的瞬时速度？

（3）运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示？

设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t2上升到任意点tt0瞬时速度的表示．

（4）函数f(x)在xx0处的瞬时变化率怎样表示？

设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数．

探究二：导数的定义

h瞬时速度是平均速度当t趋近于0时的极限．

t导数的定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)y，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作limx0xx0xlimf(x0)或y|xx0即f(x0)limx0f(xx)f(x0).

x注意：

(1)

函数应在点x0的附近有定义，否则导数不存在；

(2)

瞬时变化率就是导数，导数就是在该点的函数增量与自变量增量的比值的极限,它反映的函数在点x0处变化的快慢程度；

(3)

在定义导数的极限式中，x趋近于0，可正、可负，但不为0，而y可以为0

3．例题讲解

类型一：导数的概念

例1

求函数f(x)x2在点x2处的导数

解：因为yf(2x)f(2)(2x)2224x(x)2，

y4x(x)24x

所以xxylim(4x)4

所以limx0xx0练习1：求函数f(x)3x22x，求f(1)

解：因为yf(1x)f(1)3(1x)22(1x)(32)4x3(x)2，

y4x3(x)243x

所以xxylim(43x)4

所以limx0xx0归纳求导数的一般步骤：一差二比三极限．

设计意图：熟悉导数定义，能进行简单地计算．

类型二：导数的应用

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：0c）为f(x)x27x15(0x8). 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)，

yf(2x)f(x0)根据导数定义，

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3

所以f(2)limx0xx0同理可得:f(6)5．

表示在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

练习2：计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：同理可得，f(3)1，f(5)3．

表示在第3h时和第5h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3，说明在3h附近，原油温度大约以1C/h的速率下降，在第5h附近，原油温度大约以3C/h的速率上升．

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减，它的绝对值反映函数值变化的快慢．

设计意图：熟悉导数定义，了解导数内涵．

4．小结

（1）导数的概念；

（2）利用导数求瞬时变化率；

（3）求导数的基本步骤．

5．布置作业

（1）书面作业：必做：教材p10习题1．1 A组第1，2，3，4，5题；

（2）思考：如何利用导数，求物体运动的加速度? 6．教后反思