探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学实录

2.1.1 椭圆及其标准方程

问题导学

一、椭圆的定义及应用

活动与探究1 x2y2(1)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为(

) 259A．5

B．6

C．4

D．10 x2y2(2)已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B169中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．

迁移与应用

y22设F1，F2分别是椭圆E：x＋2＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于bA，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，则|AB|＝______．

椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．

椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于1求焦点三角形的面积，若已知∠F1PF2，可利用S＝absin C把|PF1||PF2|看成一个整体，运用2222公式|PF1|＋|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)－2|PF1||PF2|及余弦定理求出|PF1||PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．

二、椭圆的标准方程及应用

活动与探究2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；

(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)；

14(3)经过两点(2，－2)，－1，．

2迁移与应用

x2y21．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是__________．

5－kk－32．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．

x2(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是2＋a222yyx2＝1(a＞b＞0)，还是2＋2＝1(a＞b＞0)；②运用定义、平方关系等求出a，b．

bab(2)当焦点不确定时，可设方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，且A≠B)，这样可以避免讨论．

三、焦点三角形问题

活动与探究3 x2y2如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△43PF1F2的面积．

1

迁移与应用

x2y2已知P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2259的面积．

四、与椭圆有关的轨迹问题

活动与探究4 (1)已知圆x2＋y2＝9，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′，点M在PP′上，并→→且PM＝2MP′，求点M的轨迹．

(2)已知在△ABC中，|BC|＝6，周长为16，那么顶点A在怎样的曲线上运动？

迁移与应用

如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．

解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法：

(1)定义法

用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．

(2)相关点法

有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．

用相关点法求轨迹方程的步骤：

①设所求轨迹上的动点P(x，y)，再设具有某种运动规律f(x，y)＝0上的动点Q(x′，y′)；

x′＝φ1x，y，②找出P，Q之间坐标的关系，并表示为

y′＝φ2x，y；③将x′，y′代入f(x，y)＝0, 即得所求轨迹方程．

答案：

课前·预习导学

【预习导引】

1．距离之和

常数

两个定点

两焦点间的距离

|MF1|＋|MF2|＝2a

预习交流1

(1)提示：当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是线段F1F2；当2a＜|F1F2|时，点M的轨迹不存在．

(2)提示：B

2

x2y2y2x22．2＋2＝1(a＞b＞0)

2＋2＝1(a＞b＞0)

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

abab222a＝b＋c

预习交流2

(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．

不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．

(2)提示：5

3

4

(4,0)，(－4,0) 课堂·合作探究

【问题导学】

活动与探究1

(1)思路分析：求出a→求出P到另一|PF1|＋|PF2|＝→

2a>|F1F2|个焦点的距离A

解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．

(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．

6

解析：由已知a2＝16，a＝4．

从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，

∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．

又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．

4迁移与应用

解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

34又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝．

3活动与探究2

思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．

(2)利用两点间的距离公式求出2a，再写方程；也可用待定系数法．

(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)直接求A，B得方程．

解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝4，2a＝10，

所以a＝5，b＝a2－c2＝25－16＝3．

x2y2所以椭圆的标准方程为＋＝1．

259(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y轴上，

y2x2所以可设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab由椭圆的定义知2a＝4－02＋32＋22＋4－02＋32－22＝12，

所以a＝6．

又c＝2，所以b＝a2－c2＝42．

y2x2所以椭圆的标准方程为＋＝1．

3632(方法二)因为椭圆的焦点在y轴上，

y2x2所以可设其标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab3

18162a2＋b2＝1，a＝36，由题意得解得2

b＝32.a2＝b2＋4，y2x2所以椭圆的标准方程为＋＝1．

3632(3)(方法一)若椭圆的焦点在x轴上，

x2y2设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab4211＝，2＋2＝1，aba28由已知条件得解得

11411＋＝1，＝.a24b2b24x2y2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．

84同理可得：焦点在y轴上的椭圆不存在．

x2y2综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1．

84(方法二)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．

14将两点(2，－2)，－1，代入，

214A＋2B＝1，A＝，8得解得

141A＋B＝1，4B＝，42xy2所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．

84迁移与应用

5－k>k－3，1．(3,4)

解析：由已知得解得3＜k＜4．

k－3>0，x2y22．＋＝1

解析：易知c＝3，a＝5，则b2＝a2－c2＝16．

2516又椭圆的焦点在x轴上，

x2y2∴所求椭圆的方程为＋＝1．

2516活动与探究3

思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|，|PF2|后，再求△PF1F2的面积．

解：由已知a＝2，b＝3，

所以c＝a2－b2＝4－3＝1，|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos 120°，

22即|PF2|＝|PF1|＋4＋2|PF1|，①

由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，

即|PF2|＝4－|PF1|，②

6将②代入①解得|PF1|＝．

51∴SPF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin 120°

216333＝××2×＝，

25253即△PF1F2的面积是3．

5







4

x2y2迁移与应用

解：在椭圆＋＝1中，

259a＝5，b＝3，c＝4，

则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①

由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②

2①－②得

|PF1||PF2|＝12．

113∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝×12×＝33．

222活动与探究4

(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．

解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，

则x0＝x，y0＝3y．

因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，

2所以x20＋y0＝9．

将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．

x22即＋y＝1．

9又y≠0，

所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．

(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．

解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，

故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC直线与椭圆的两个交点．

迁移与应用

解：由题意知M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．

又M在AQ的垂直平分线上，连接AM，则|MA|＝|MQ|，

∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5＞|AC|＝2．

∴M的轨迹是以C(－1,0)，A(1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，

521∴a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝．

2422xy4x24y2∴M的轨迹方程为＋＝1，即＋＝1．

2521252144当堂检测

x2y2=1上的点，1．设P是椭圆若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于(

) 2516A．4

B．5

C．8

D．10 答案：D

解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a．

∵a2＝25，∴2a＝10．

∴|PF1|＋|PF2|＝10．

x2y2=1的焦点坐标为(

) 2．椭圆1675

A．(－4,0)和(4,0)

B．(0，7)和(0，7) C．(－3,0)和(3,0)

D．(0，－9)和(0,9) 答案：C

解析：由已知椭圆的焦点在x轴上，且a2＝16，b2＝7，

∴c2＝9，c＝3．

∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．

3．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是(

) A．圆

B．椭圆

C．抛物线

D．无法确定

答案：A

解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，

∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，

即|F1Q|＝2a．

∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．

x2y2=1上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°4．已知P是椭圆，则△PF1F2的2516面积是______．

答案：16

解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①

又∵∠F1PF2＝90°，

22∴|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|2＝4c2＝36．②

①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．

1|PF1|·|PF2|＝16．

2x2y2=1上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|5．已知椭圆259∴S＝＝______．

答案：2

解析：设右焦点为F2，连接F2M，

∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，

∴|ON|＝1|MF2|．

2又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，

∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．

提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．

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