习题3.1教案板书设计

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1.直线的倾斜角与斜率

(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便. (2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率kAB＝y2－y1. x2－x1(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0). 2.直线的五种方程及比较

名称

点斜式

斜截式

两点式

方程

y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1常数的几何意义

(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率

k是斜率，b是直线在y轴上的截距

(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点

适用条件

直线不垂直于x轴

直线不垂直于x轴

直线不垂直于x轴和y轴

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截距式

xy＋＝1

abAx＋By＋C＝0(A，B不同时为0) x＝a (y轴：x＝0)

y＝b (x轴：y＝0)

a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距

A，B，C为系数

垂直于x轴且过点(a,0)

垂直于y轴且过点(0，b)

直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点

任何情况

斜率不存在

斜率k＝0 一般式

特殊直线

解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论. 3.两直线的平行与垂直

直线方程

平行的等价条件

垂直的等价条件

由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程. 4.距离问题

类型

两点间的距离

点到直线的距离

已知条件

A(x1，y1)，B(x2，y2)

P(x0，y0)

l：Ax＋By＋C＝0 l1：Ax＋By＋C1＝0，

两条平行直线间的距离

l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0)

学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合. 5.直线系方程

直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：

(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，d＝公式

d＝x2－x12＋y2－y12

|Ax0＋By0＋C|d＝

A2＋B2|C2－C1|l1：y＝k1x＋b1，

l2：y＝k2x＋b2

l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2

l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，

l2：A2x＋B2y＋C2＝0 l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0

l1⊥l2⇔A1A2＋B2B1＝0

A2＋B2

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也就是平常所提到的直线的点斜式方程；

(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：

Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；

(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：

Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；

(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2). 6.“对称”问题的解题策略

对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称. (1)中心对称

①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1,2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y). ②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等. (2)轴对称

①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程. ②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称. 当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；

当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.

题型一

直线的倾斜角和斜率

倾斜角和斜率分别从“形”和“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性是解题的易错点，应引起特别重视. (1)对应关系

①α≠90°时，k＝tan α. ②α＝90°时，斜率不存在. (2)单调性

当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞，然后由－∞逐渐增大到0(不含0).

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y2－y1经过A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式k＝(x≠x)，应注意其适用的x2－x112条件x1≠x2，当x1＝x2时，直线斜率不存在. 例1

已知坐标平面内的三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，3＋1). (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；

(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围. 解

(1)由斜率公式，得kAB＝kBC＝kAC＝3＋1－1＝3，

2－13＋1－13＝. 32－－11－1＝0，

1－－1因为tan 0°＝0，

所以AB的倾斜角为0°；

因为tan 60°＝3，所以BC的倾斜角为60°；

因为tan 30°＝3，所以AC的倾斜角为30°. 3(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB过程中，直线CD与AB恒有交点，即D在△ABC的边AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为3，3. 3跟踪训练1

求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围. 解

当m＝1时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为：α＝90°. 3－21当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝，

m－1m－11(1)当m>1时，k＝>0，所以直线的倾斜角的取值范围是0°<α<90°. m－11(2)当m<1时，k＝<0，所以直线的倾斜角的取值范围是90°<α<180°. m－1题型二

直线方程的五种形式

直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论.求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式、斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线.因此，要注意运用分类讨论的思想.在高考中，题型以选择题和填空题为主，与其他知识点综合时，一般以解答题的形式出现.

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45例2

求与直线y＝x＋垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程. 33453解

方法一

由直线l与直线y＝x＋垂直，可设直线方程为y＝－x＋b，则直线l与x轴，3344y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b. 3又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为24，

114b|b|＝24，b2＝36. 所以S＝|x0||y0|＝24，即223解得b＝6或b＝－6. 33故所求直线的方程为y＝－x＋6或y＝－x－6，

44即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0. xyb45方法二

设直线l的方程为＋＝1，则直线的斜率k＝－.因为l与直线y＝x＋垂直，

aba33b3b3所以k＝－＝－，即＝. a4a4又因为l与坐标轴围成的三角形的面积为24，

1所以|ab|＝24，即|ab|＝48. 2所以a＝8，b＝6或a＝－8，b＝－6. xyxy所以直线l的方程为＋＝1或＋＝1，

86－8－6即3x＋4y－24＝0或3x＋4y＋24＝0. 跟踪训练2

过点P(－1,0)，Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 解

(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；

(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，y＝kx＋2. 2令y＝0，分别得x＝－1，x＝－. k2－1＋＝1，即k＝1. 由题意得k则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，

即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0. 题型三

直线的位置关系

两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直.通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.解题时要注意分析斜率是否存在，

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用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况. 例3

已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a、b的值. (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直；

(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1、l2的距离相等. 解

(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0. 即a2－a－b＝0，①

又点(－3，－1)在l1上，

∴－3a＋b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2且l2的斜率为1－a，

aa∴l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. b1－a故l1和l2的方程可分别表示为

4a－1l1∶(a－1)x＋y＋＝0，

aal2：(a－1)x＋y＋＝0. 1－a∵原点到l1与l2的距离相等，

∴4a－1a2＝1－a，解得a＝2或a＝. 3aa＝，a＝2，因此或3b＝－2，

2b＝2.

跟踪训练3

(1)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程；

(2)已知直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0互相平行，且l1，l2之间的距离为5.求直线l1的方程. x－2y＋4＝0，解

(1)方法一

由方程组

x＋y－2＝0，x＝0，得即P(0,2). y＝2，

4∵l⊥l3，∴kl＝－，

34∴直线l的方程为y－2＝－x，

3即4x＋3y－6＝0.

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方法二

∵直线l过直线l1和l2的交点，

∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，

即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直，

∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，解得λ＝11. ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0，

m8n(2)∵l1∥l2，∴＝≠，

2m－1m＝4，m＝－4，∴或

n≠－2n≠2.

①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0，把l2的方程写成4x＋8y－2＝0，

∴|n＋2|＝5，解得n＝－22或n＝18. 16＋64则直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0，把l2的方程写成4x－8y－2＝0，

∴|－n＋2|＝5，解得n＝－18或n＝22. 16＋64则直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 综上所述，直线l1的方程为2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0. 题型四

最值问题

方法梳理

1.构造函数求解最值：

利用函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性等性质特征及复合函数的结构特征求解函数的最值. 2.结合直线方程的相关特征，保证在符合条件的范围内求解最值. 3.结合图象，利用几何性质帮助解答. 数学思想

函数思想：通常情况下求解最值问题可以转化为对函数的研究，函数思想给我们一种最严谨的眼光来看待问题，是一种探求普遍真理的思想，本章中求最大距离、最大面积等问题时常常会用到函数思想. 例4

已知△ABC，A(1,1)，B(m，m)(1＜m＜4)，C(4,2).当m为何值时，△ABC的面积S最大？

解

∵A(1,1)，C(4,2)，

∴|AC|＝4－12＋2－12＝10.

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y－1x－1由两点式，得＝，

2－14－1∴直线AC的方程为x－3y＋2＝0. |m－3m＋2|∴点B(m，m)到直线AC的距离d＝. 101∴S＝|AC|·d

21＝|m－3m＋2|

2311m－2－. ＝242131∵1＜m＜4，∴1＜m＜2，∴－＜m－＜，

22231m－2＜，

∴0≤24311m－2. ∴S＝×4－223当且仅当m－＝0时，S取得最大值，

29故当m＝时，△ABC的面积S最大. 4跟踪训练4

如图，一列载着危重病人的火车从O地出发，沿北偏东α度(射线OA)方向行驶，其中sin α＝10.在距离O地5a(a为正常数)千103米，北偏东β度的N处住有一位医学专家，其中sin β＝，现120指挥5中心紧急征调离O地正东p千米B处的救护车，先到N处载上医学专家，再全速赶往乘有危重病人的火车，并在C处相遇.经计算，当两车行驶的路线与OB所围成的三角形OBC的面积S最小时，抢救最及时. (1)在以O为原点，正北方向为y轴的直角坐标系中，求射线OA所在的直线方程；

(2)求S关于p的函数关系式S＝f(p)；

(3)当p为何值时，抢救最及时？

解

(1)由sin α＝1010，得cos(90°－α)＝，

1010310∴sin(90°－α)＝，tan(90°－α)＝3，

10∴直线OA的方程为y＝3x. (2)设点N(x0，y0)，

则x0＝5asin β＝3a，y0＝5acos β＝4a.∴N(3a,4a).

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4a又∵B(p,0)，∴kBN＝. 3a－p4a∴直线BC的方程为y＝(x－p). 3a－py＝3x，x＝3p－5a，联立方程组解得4a12apy＝x－p，y＝3a－p3p－5a.

4ap

12ap5p＞a，

∴yC＝3p－5a316ap25p＞a. ∴S△OBC＝S＝|OB|·|yC|＝23p－5a36ap26a(3)由(2)知S＝＝

3p－5a35a－pp2＝6a. 1329－5ap－10a＋20a513∵p＞a，∴0＜＜. 3p5a1340∴当＝时，Smin＝a2. p10a310a因此，当p＝时，抢救最及时. 3题型五

分类讨论思想

分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决. 在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题. 例5

设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 解

①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0. ②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，由题意得：

a－2＝a－2，解得：a＝0. a＋1此时直线的方程为x＋y＋2＝0. 综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. 跟踪训练5

直线l经过点P(2,3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程.

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3解

①当截距都为0时，直线过原点，此时k＝，

23所以直线方程为y＝x，即3x－2y＝0 2②当截距都不为0时，根据题意，

xy设所求直线的方程为＋＝1. a－a23∵直线过点P(2,3)，∴＋＝1，

a－a得a＝－1.∴直线方程为x－y＋1＝0. 综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或3x－2y＝0. 题型六

数形结合思想

根据数学问题的条件和结论的内在联系，将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合. 例6

已知直线l过点P(－1,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围. 解

如图所示，

直线PA的斜率kPA＝2－－3＝5，

－1－－2

直线PB的斜率kPB＝0－21＝－. 23－－1当直线l绕着点P由PA逆时针旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率的变化范围是[5，＋∞). 1－∞，－. 当直线l绕着点P由PC逆时针旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是21－∞，－∪[5，＋∞). ∴直线l的斜率的取值范围是2跟踪训练6

在抛物线y＝4x2上求一点P，使点P到直线y＝4x－5的距离最小，并求出这个最小距离. 解

由题意可设P(x0，4x20)，则点P到直线y＝4x－5(即直线4x－y－5＝0)的距离d＝2|4x0－4x2|4x20－5|0－4x0＋5|2x0－1＋4＝＝. 171742＋－12

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11417，1时，到直线y＝4x－5的距离d有最小值，为所以当x0＝，即点P的坐标为. 2217

1.在平面解析几何中，用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，把它们进一步转化为代数方程之间的关系求解. 2.关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这两个条件列方程组求解. 3.涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况.