习题4.2教学评价实录

《直线与圆的位置关系》

教

案

学

段：

高

中

学

科：

数

学

作

者：

张

鹏

作者单位：

河南省淮滨高级中学

指导老师：

臧传发

手

机：

15937686560

《直线与圆的位置关系》教案

○教材分析••••

“直线与圆的位置关系”中，先从几何角度指出直线与直线、直线与圆的位置关系，然后用方程去描述它们，通过方程研究直线与圆的位置关系，最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用.通过方程，研究直线与圆﹑圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一.判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：（1）曲线C1与C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解.方程组有几组实数解，曲线C1与C2就有几个公共点；方程组没有实数解，C1与C2就没有公共点.（2）运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题.

○学情分析••••

学生经过直线方程和圆的方程的学习，已经初步了解了解析几何初步的问题，本节把结论放在学生经过一系列教学活动之后，通过思考、探究，得出结论.在例题呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路；在探求点的轨迹时，提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，使得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略.

○课时安排••••

3课时

4.2.1直线与圆的位置关系

»教学目标

教○学○分○析

○1.理解直线与圆的位置关系. 2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.

3.会判断直线与圆的位置关系.

»教学重难点

•重点：根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能利用直线和圆的方程解决一些简单的问题. •难点：直线与圆的方程的应用.

教

学

过

程

设

计

一、设计问题,创设情境

一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？

问题1：初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？

问题2：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

- 1 -

（设计意图：从具体情境引入，激发学生的学习兴趣，并从学生的最近发展区进一步提出问题.）

二、自主探索,尝试解决

启发学生由图形获取判断直线与圆的位置关系的直观认识.

如何通过代数的方法来研究直线与圆的这三种位置关系. 从方程的解来看：

AxByC0直线与圆相交,有两个公共点,组成的方程组应该有两个解.

222xaybrAxByC0直线与圆相切,有一个公共点,组成的方程组应该有一个解.

222xaybrAxByC0直线与圆相离,没有公共点,组成的方程组应该没有实数解.

222xaybr从初中直线与圆相切常用到的作辅助线的方法来讲，连接切点和圆心得到半径，即圆心到直线的距离等于半径. 一般地，已知直线AxByC0(A,B不同时为零)和圆(xa)2(yb)2r2,则圆心(a,b)到此直线的距离为dAaBbCAB22,则d与半径r有下面三种类型:dr,dr,dr.

（设计意图：初步体会两种判断直线和圆的位置关系的特点.）

三、信息交流,揭示规律

直线与圆相交、相切、相离的定义：（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；（2）

直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切；（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离. 直线与圆相交、相切、相离的判定：

①代数法：

AxByC0直线与圆相交有两个解;

222xaybrAxByC0直线与圆相切有一个解;

222xaybrAxByC0直线与圆相离没有解.

222xaybr②几何法：

设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d. （1）当dr时，直线与圆相交；（2）当dr时，直线与圆相切；（3）当dr时，直

线与圆相离.

- 2 -

位置

d与r

相交

dr

相切

dr

相离

dr

图形

交点个数

2 1

0

（设计意图：通过两种判定方法的比较，进一步了解用代数的方法解决几何问题的思想.）

四､运用规律,解决问题

【例1】如图，已知直线l:3xy60和圆心为C的圆x2y22y40，判断直线l与圆的位置关系.如图相交，求它们交点的坐标.

分析：方法一：求直线l与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数

解；方法二：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系. &3xy602yx3x20，因

解：法一：由直线l与圆的方程，得2消去,得2xy2y40&为341210，所以，直线l与圆相交，有两个公共点. 法二：圆x2y22y40可化为x2y15，其圆心C的坐标为0,1，半径长为225，点C0,1到直线l的距离d共点. 3016321255.所以，直线l与圆相交，有两个公10由x23x20，解得x12,x21.把x12代入方程①，得y10；把x21代入方程①，得y23；所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A2,0,B1,3. （设计意图：此题主要是让学生体会用两种方法来判断直线与圆的位置关系的思路.）

【例2】已知过点M3,3的直线l被圆x2y24y210所截得的弦长为45，求直

线l的方程.

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解：将圆的方程写成标准形式，得x2y225,所以,圆心的坐标是0,2，半径长r5. 2245如图，因为直线l被圆截得的弦长为5，所以弦心距为

52，即圆心

25到所求直线l的距离为5.因为直线l过点M3,3，所以可设所求直线l的方程为y3kx3，即kxy3k30. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的距离d23k3k21223k3k122. 因此,5即3k155k2,两边平方,并整理得到2k23k20,解得

k11或k2.所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为y3x3或22y32x3.即x2y90或2xy30. （设计意图：由直线和圆相交结合垂径定理和求直线的方程来综合解决直线和圆的位置

关系问题.）

五﹑变式演练,深化提高

本节的问题主要围绕直线和圆的位置关系来设计，例如求圆的方程中条件的设计：直线和圆相切，直线与圆相交产生的弦长问题--垂径定理的运用等. 例如：求以C1,3为圆心，并且和直线3x4y10相切的圆的标准方程. 同学们可以仿照例题和所考查的知识点进行编写. （设计意图：通过学生的自主编题，掌握直线和圆的位置关系的判定方法，结合圆的相关知识来综合解决问题，使学生进一步提高分析问题、解决问题的能力.）

六､信息交流，教学相长

1.求以C1,3为圆心，并且和直线3x4y10相切的圆的标准方程. 解：圆心到直线的距离为r3143134222,所以所求圆的方程为x12y34. 22.求圆心在y轴上，且与直线l1:4x3y120,直线l2:3x4y120都相切的圆的方

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程. 解：设所求圆的圆心O坐标为0,b，半径为r,则圆心到直线l1,l2的距离相等均为r,所以3b124b121284r,解得b0,r或b24,r. 555521284因此，所求圆的方程为xy或x2y24. 552222（设计意图：充分利用直线和圆的位置关系确定圆的圆心坐标和半径，进而确定圆的方程.）

七﹑反思小结，观点提炼

直线与圆的位置关系的判断方法有两种：

1.代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即0,则相交；若有两组相同的实数解,即0，则相切；若无实数解，即0,则相离. 2.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当dr时，直线与圆相交；当dr时，直线与圆相切；当dr时，直线与圆相离. （设计意图：通过反思小结掌握本节课所学的直线和圆的位置关系的两种判断方法，并能利用直线和圆的位置关系解决圆的有关问题.)

布

置

作

业

教材P132习题4.2A组第1,2,3,4题;B组第4题. 板

书

设

计

4.2.1直线与圆的位置关系

一、实例“小岛”问题. 三、代数法

二、方程组的解的讨论

相交——两解

相切——一解

AxByC0

相离——无解

222xaybr

四、几何法

r相交

dr相切

r相离五、典例

例1 例2 六、小结

教

学

反

思

本节课是学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课.本节的主题是直线和圆，在解析几何中，直线与圆的关系是一个非常重要的知识点，可以对学生的思维有一个很好的锻炼，将几种重要的数学思想灌输给学生.首先，一开始的复习提问全面又突出重点，特别是“初中学习的如何判断直线和圆的位置关系？”这个问题，为学生思考提供了很好的引导，其次对于例题的选择有很高的要求，好的例题是一个好教案的重要保证.在例题的设计方面，本教案共分为三个层次来一步步的推进，让学生由浅入深，从思维容量上层层递进，对学生的思考和分析都有很好的引导作用.

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