1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）名师教学视频（文字实录）

球的体积与表面积

教学分析

本节教材直接给出了球的表面积和体积公式，并用两个例题来说明其应用.值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点. 三维目标

掌握球的表面积和体积公式，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，培养转化与化归的数学思想方法.

重点难点

教学重点：球的表面积和体积公式的应用.

教学难点：关于球的组合体的计算. 课时安排

约1课时

教学过程

导入新课

球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？球的大小与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？教师引出课题：球的体积和表面积. 推进新课

新知探究

球的半径为R，它的体积和表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数.事实上，如果球的半径为R，那么S=4πR2,V=R. 注意：球的体积和表面积公式的证明以后证明. 433

即时训练：两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(

) A．2 B.2 C.32 D.134

2

应用示例

例1

如图1所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：

图1 （1）球的体积等于圆柱体积的2；

3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.

活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象.教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形.

证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R. 则有V球=R，V圆柱=πR2·2R=2πR3，所以V球=V圆柱. （2）因为S球=4πR2，S圆柱侧=2πR·2R=4πR2，所以S球=S圆柱侧. 点评：本题主要考查有关球的组合体的表面积和体积的计算.解决此类问题的关键是明确组合体的结构特征. 变式训练

长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（

）

A．25π

B．50π

C．125π

D．都不对

43323例2 (1)火星的直径约为地球直径的一半，地球的体积约是火星体积的多少倍？

(2)木星的表面积约为地球表面积的120倍，木星的体积约是地球体积的多少倍？

【解析】

(1)设火星的半径为R，则地球的半径为2R，

4π2R3V地3因此＝＝8. 43V火πR3故地球的体积约是火星体积的8倍．

(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr＝120×4πR，解得r＝230R. 434πrπ3V木3所以＝＝V地43πR3(230R)43πR3322＝24030. 故木星的体积约是地球体积的24030倍．

点评：本题主要考查球和圆柱的组合体的应用，以及解决实际问题的能力. 变式训练

一个球的大圆面积扩大到原来的100倍，那么这个球的体积有什么变化？

课堂训练

1.如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.28π若该几何体的体积是3，则它的表面积是（

）

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

2.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是(

) A.

B.3

C.4

D.5 3.表面积为4π的球的体积是 .

课堂小结

本节课学习了：

1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求和,取极限”的数学方法. 2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观点. 3.二个公式:半径为R的球的体积与表面积公式.

4.解决两类问题:两个几何体相切和相接.

作业

课本本节练习

1、2、3.

教学反思：

本节教学结合高考要求，主要是从组合体的角度来讨论球的表面积和体积.值得注意的是其中的题目没有涉及球的截面问题（新课标对球的截面不要求），在实际教学中，教师不要增加球的截面方面的练习题，那样会增加学生的负担.