习题4.1公开课教案

人教A版高中数学

《圆的标准方程》教学设计

绍兴鲁迅高级中学

倪芳

《圆的标准方程》教学设计

一、

教材分析

本节课选自人教A版高中数学必修二第四章第一节内容，圆的标准方程属于解析几何学的基础知识，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中经常碰到。在此之前，学生已经学习了直线及其方程，这为过渡到本课题起到铺垫的作用。同时，学好本课题为以后学习曲线及其方程奠定了基础，所以本课题在整个教材中起到承上启下的作用。

二、

学情分析

我授课对象是学习能力为高二年级中等能力程度班级的学生。学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其推导形成过程。

三、

教学目标

【知识与技能】

1.

掌握圆的标准方程的形式，能根据圆的标准方程写出圆心的坐标和圆的半径；

2.

能掌握用该圆圆心坐标和半径，求圆的标准方程；

3.

掌握圆心及条件，建立适当的坐标系、用待定系数法求出圆的方程；

【过程与方法】

1. 通过循序渐进的方法，先直接给出圆心坐标和半径，求圆的标准方程；

2. 然后再圆心、半径是间接给出情况下，分别求圆的标准方程，达到训练学生的效果。

【情感态度价值观】

培养学生积极思考，认真执着的学习态度，通过让学生欣赏西游记的视频，让学生体会中国文化的博大精深和圆的几何美，通过分组讨论让学生在分析中体验辩论的快乐，提高数学素养，形成积极的情感态度。

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倪芳

四、

教学重点与难点

重点：圆的标准方程的结构特征，在给定条件下，求圆的标准方程的一般思维方法。

难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决有关圆的问题。

五、

教学方法

教法分析：因为本节课是学生对圆的基本形状、性质有所认识的基础上，对圆进行代数方程解析研究。所以可采用启示法、类比法、讨论法来进行教学。众所周知，高中数学教学中不但要传授给学生基本的数学知识与技能，更要注重过程与方法，态度情感与价值观。因此我在教学活动中，不断地设置问题，提出疑问，诱导学生主动思考，主动探究，讨论交流，使学生在积极探索的学习中解决问题。

学法分析：针对学生的学习过程，体现学生自我学习的主体性。学习中，通过学生已有的认知结构，学生在学法上化被动式的待灌输知识为主动式的探索知识，探索知识成功后的喜悦感进一步促进了在人生征途上的成就感。

六、

教学过程

环节一、创设情境，引入新课

【创设情境】

西游记是中国四大名著之一，在三打白骨精一回中，孙悟空在化斋前在地上画了一个圈保护唐僧等人。

古希腊哲人毕达哥拉斯说：圆是宇宙最和谐的图形。

【师生活动】

观看视频，引出课题——圆。

设计意图：

通过设计情境，将西游记设计到情境中，引起学生的兴趣。同时为下面例题作下铺垫，引起学生对后续内容学习的兴趣和探究热情。

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倪芳

环节二、合作探究，突出重点

【探究1】圆的定义

【过渡】

上一章我们学习了直线的方程，今天开始我们要学习圆的方程。在初中阶段，我们已经学习了圆，那圆的定义是什么呢？

【定义讲解】

圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径。

（几何画板展示）

强调圆的两要素（1）定点即圆心，决定圆的位置（2）半径即定长，决定圆的大小。

设计意图：

引入坐标系来刻画定点、定长，借助两点间的距离公式，用集合语言来描述动点的轨迹，用符号语言来表达圆的方程，用几何画板形象展示，体现数形结合的思想。

【过渡】

从几何画板中我们可以看到，改变圆心和圆的半径，圆就会改变。那我们将如何数学化刻画一个圆呢？

【探究2】圆的标准方程

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a,b,r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P{M||MA|r} ,由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件。

(xa)2(yb)2r

化简可得：(xa)2(yb)2r2

这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。其次

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再来考虑第二个条件，满足这个方程的(x,y)是否一定在这个圆上呢？

只要(x,y)满足这个方程，则(x,y)到(a,b)的距离就等于r，则这个点就一定在该圆上。通过以上两点的考证，得出了圆的方程：圆心在(a,b)，半径为r的圆的方程：

圆的标准方程：

(xa)2(yb)2r2

说明：（1）类似于三角形勾股定理（可避免学生将r2写成r）；

（2）有两个变量x,y，形式都是与某个实数差的平方；

（3）含有a,b,r三个参数。

特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2y2r2

归纳：求圆的一般步骤为：

（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示圆上任意一点M的坐标；

（2）写出适合条件P的点M的集合；

（3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)0; （4）化方程f(x,y)0为最简形式；

（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是圆上的点。

【牛刀小试】

1 .圆心为A(2,3)，半径长等于5的圆的方程为（

）

A.x2y325

B.x2y325

C.x2y35

D.x2y352.圆(x－2)2y22的圆心C的坐标及半径r分别为（

）

.AC（2，0）

r2

C.C（0，2）

r2

B.C（-2，0）

r2

D.C（2，0）

r2222222223.方程x2y20表示什么图形?4.方程y4x表示什么图形?2

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5.已知M(5,7)和圆x2y325，则点M在（

）

.A圆内

.B圆上

C.圆外

D.无法确定【师生活动】

学生回答，老师白板展示。

设计意图：

1-4题让学生对圆的标准方程有一个很好的运用，考查学生对知识的掌握程度。题5是过渡到下一个知识点。

【探究3】点与圆的位置关系

【定义讲解】

点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：

（1）点在圆上dr(x0a)2(y0b)2=r2；

（2）点在圆外dr(x0a)2(y0b)2>r2；

（3）点在圆外dr(x0a)2(y0b)2

22环节三、自主探究，突破难点

例1.已知两点P(4,9),P2(6,3),求以线段PP为直径的圆的方程，并判断点112M(6,9),N(3,3),Q(5,3)在圆上，在圆内，还是在圆外？解：依题意设圆心为(a,b)半径为r，C(a,b)是M1M2的中点

a465,2b936，r|CM1|(45)2(96)210

2

(x5)2(y6)210

CM10，CN1310

CQ310，

因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。

例2.假设将唐僧、猪八戒、沙僧三人看成质点，坐标分别为A(5,1), B(2, -8)，C(7,－3)三点，要让三人均在安全地带，问孙悟空画的最小的圆的方程？

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（用两种方法求解）

法一：待定系数法

法二：通过中垂线交点求解

【师生活动】

用电子白板展示学生的做题过程，老师加以批改和补充，完善解题过程，提醒学生注意解题的规范性。

设计意图：

本题通过对开头视频的呼应，引出今日解题方法的高潮。

法一让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程，根据条件列方程求参数，突出本节课重点。

法二是使“数形结合”思想的教学落到实处,同时培养学生的画图技能,充分利用圆的平面几何的性质，同时为圆的一般方程解法做铺垫。

变式：若A(5,1), B(2, -8)两点在圆上，请你再添加一个条件确定一个圆。

【师生活动】

小组讨论，分享结论。

设计意图：

这是一道开放题，让学生发散思维。从一题中总结如何确定一个圆和求解一个圆方程的方法。

环节四、归纳总结，反思提高

【总结】

结合板书，说说今天学了什么。

圆的基本方程和点与圆的位置关系。

此处景色入画悦目怡情鲁迅精神千古吟唱，

本课圆之方程数形结合几何风采永恒追求。

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倪芳

【师生活动】

请学生发言，并相互补充，教师点评即可。教师可适当总结本节课所应用的数学思想和方法。

设计意图：

通过对所学内容进行小结，使学生对本节内容有一个更全面的认识，并在脑海中形成自己知识框架。同时，用一句诗概括本节课主要的数学思想。

七、

板书设计

4.1.1 圆的标准方程

一、定义

二、点与圆的位置关系

三、例题与学生活动区域

八、

板书设计

本节课是圆的方程的第一节课，在教学中注意以下几点：

1.本节课以方程思想为主线设计的：以西游记为背景，研究圆的标准方程，最后解决所提出的问题。从西游记来到西游记中去，丰富内容。知识讲解遵循由简单到复杂，由具体到一般的规律。同时引导学生建立模型，独立思考，合作学习的能力。

2.在例题、练习、作业的配备上，应体现高中学习的特点：如该教材中例２，让学生体会到一题多解思维方式；在每一个例题后的即时练习，培养了学生的及时巩固、举一反三能力。因此，我认为习题的搭配应力求让学生处理每一个问题都必须有所思考，使学生体会到：数学不能生搬硬套，应该用数学的思想方法去学习数学、认识数学。

3.以学生为主体，让学生自己去探索、发现、再创造，最能调动学生的积极性，最有利于培养数学能力，数学教学的最终目标并非唯一地指向数学具体知识本身，其潜在的也是最重要的恰是指向学生的能力品质、生命成长。