探究与发现 为什么截口曲线是椭圆教学设计及教案分析

《为什么截口曲线是椭圆》教案

授课教师：阳江市第一中学

洪艺瑜

人教版高中数学选修1-1

一、教学目标：

知识与技能目标：（1）通过平面截圆锥面直观的演示，了解截口曲线是圆锥曲线；⑵了解过球外一点作球的切线，切线长相等；

⑶了解丹迪林(Dandelin)双球证明截面是椭圆的两种证明思路． 过程与方法目标：（1）利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明；

（2）通过平面问题与空间问题的类比教学，培养学生平面与空间相互转化的能力．

情感与价值观目标：（1）通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。；

（2）通过教师的直观演示与信息技术的使用，激发学生的学习兴趣，培养学生积极参与课堂的习惯以及发现数学美的能力． 二、教学重点与难点

教学重点：分析丹迪林(Dandelin)双球证明截口曲线是椭圆的证明思路．

教学难点：（1）分析丹迪林(Dandelin)双球证明截口曲线是椭圆的证明思路；

（2）利用所得的结论解决有关的问题．

三、教学方法与手段

教学方法：以“讲授法”为主，以问题教学法，小组合作学习等方法为辅．

教学手段：，运用现代信息技术多媒体教学，用到计算机、投影硬件工具及PowerPoint等软件工具．

四、课前准备

教师准备：电脑，课件

学生准备：尺子，稿纸

五、教学过程

1

认识平面截圆锥的各种截口曲线

设置疑问，引入课题

介绍背景，熟悉模型

Dandelin双球模型的介绍

直观观察，操作探究

探索推导，验证结论

验证截口曲线是椭圆

应用公式，解决问题

总结整理，提高认识

结

课

布置作业，独立探究

六、教学情境设计

（一）

设置疑问，引入课题

【引例】：（2015•浙江）如图（图1-1），斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（

）

（图1-1）

A

直线

B 抛物线

C 椭圆

D 双曲线的一支

师：这是一道“熟悉的陌生题”，试题的命题背景源于教材.在人教A版选修1-1《第二章

圆锥曲线与方程》的章头引言里有这样一句话：“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.”

本题，我们可以用几何知识求点的轨迹，也可以用代数（向量）的方法求点的轨迹；但如果通过今天这一课的学习，我们便可以在高考场上将其秒杀. 【问题1】：我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到什么图形？

2

【动态演示】：（演示动画1）

（图1-2）

师：

今天，我们主要研究截口曲线是椭圆.

（图1-3）

【问题2】：为什么截口曲线是椭圆呢？证明曲线是椭圆，有哪些方法？

生（可能回答）：定义法（第一定义）：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹是椭圆.第二定义：平面上到定点的距离和到定直线的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹.

设计意图：先通过一道高考题创设情境，提出问题，吸引学生的注意力；再通过多媒体演示，揭示问题的背景，激起学生的学习兴趣和好奇心.最后通过设疑，让学生带着问题进入新课学习。这样可使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．

师生活动：引导学生先阅读题目和课本章头引言，了解问题背景，再带着问题去探究本节课题.

（二）

介绍背景，熟悉模型

3

师：我们可以先用利用我们非常熟悉的第一定义去验证截口曲线是椭圆，再去考虑为什么截口曲线是椭圆？截面要满足什么条件，截口曲线才会是椭圆？这里有两个难点：一是如何找到这两个定点（即椭圆的焦点）；二是如何说明椭圆上的点到两个定点的距离之和是定长. 【背景模型】：

历史上，许多人从纯几何角度出发

对这个问题进行过研究，其中数学家丹迪林（Dandelin）的方法非常巧妙，他是怎么做的呢？

在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切.如图2-1所示：（或者使用几何图霸中的第5页动态，引导学生回答系列问题）

（图2-1）

【问题3】：如果把平面转动，在转动的过程中始终保持球与圆锥侧面和截面相切，当截面转动到与轴垂直的位置时，截口曲线是什么，双球与截面的切点在哪个位置？（截面圆的圆心）（演示几何图霸中的第5页）

【问题4】：当垂直于轴的截面的位置变化时，截口曲线由圆变成椭圆.这时，双球与截面的切点由重合于截面圆的圆心变成两个不同位置的点，你能猜想到这两个不同的切点和椭圆有什么关系吗？（椭圆的焦点）（演示几何图霸中的第5页）

【问题5】：大小两球分别与圆锥相切，它们的切点分别构成什么图形？所构成的图形与圆锥底面具有怎样的位置关系？（平行）

【问题6】：任作一条母线，与两个切点圆相交于Q1,Q2,Q1Q2的长度会因不同的母线而不同吗？（不变）

【问题7】：平面内，过圆外的一点M作圆的两条切线，切点分别为A,B则MAMB.

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类比空间中，在球外一点M分别作球的两条切线，切点分别为A,B，有MAMB成立吗？理由？

（图2-2）

（图2-3）

设计意图：教师通过计算机动态演示，引导学生观察分析，利用合情推理出双球与截面的切点就是椭圆的焦点位置，再通过类比猜想将平面结论推广到空间中.让学生明确丹迪林(Dandelin)双球的与圆锥侧面﹑截面相切时的几何特点，培养学生的观察能力与空间直观能力，也培养学生将空间问题平面化的能力.与此同时突破难点，并为后面的探究证明埋下伏笔．

（三）

师生合作，探究新知

探究一：利用椭圆第一定义证明

由几何性质可知

：

PEPQ1,PFPQ2，于是

PEPFP1QP2Q1（定值）

Q2Q

即，截口曲线上任意一点P到两个定点E,F的距离之和为常数. 设计意图：在前面的知识铺垫下，让学生们交流讨论，整理证明过程，培养他们的表达能力.

探究二：为什么截口曲线是椭圆

？

师：通过刚才的动画演示（演示几何图霸中的第1,2页直观图、前视图），我们发现：如果用一个平面去截一个正圆锥，且这个平面不通过圆锥的顶点且不垂直

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于圆锥的轴，得到的截口曲线不一定是椭圆，截口曲线会出现哪几种情况？下面，我们一起来探究什么情况下截口曲线是椭圆？

（图3-1）

生答：如果平面截圆锥的母线不平行且截圆锥的一半，截口曲线是椭圆；如果平面和圆锥的一条母线平行，截口曲线是抛物线；如果平面截圆锥两部分，截口曲线是双曲线. 【思考1】：用平面截圆锥，所得的截口曲线不一定是椭圆，要得到截口曲线是椭圆，截面的位置要满足什么条件？（演示有直观图，前视图页）如图，AD是等腰ABC底边BC上的高，BAD，直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为0，试探究：当,满足什么条件？

2（1）

直线l与AB（或AB的延长线）、AC都相交；

（2）

直线l与AB不相交；

（3）

直线l与BA的延长线、AC都相交.

BDAPlC

（图3-2）

（图3-3）

6

分析：

1当l与AB或AB的延长线、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F. 因为是AEP的外角,所以必然有; 反之,当时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交.

2当l与AB不相交时,则l//AB,这时有; 反之,当时,l//AB,那么l与AB不相交.

3当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,

因为是APG的外角,所以;如果,那么l与BA的延长线、AC都相交

设计意图：利用动态演示，培养学生的观察能力与空间直观能力；通过思考，引导学生将空间问题平面化，培养学生将空间问题平面化的能力. 师生活动：教师利用几何图霸动态演示(看前视图)，让学生观察并讨论得出结论.

【归纳结论】：将等腰三角形拓广为圆锥，将直线拓展为平面.

在空间中，取直线AD为轴，直线AB与AD相交于A点，其夹角为，围绕AD旋转得到以A为顶点，以AB为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴所成的角为（与AB平行，记作0），则：

（1），平面与圆锥的交线为椭圆；

（2），平面与圆锥的交线为抛物线；

（3），平面与圆锥的交线为双曲线；

【思考2】你能仿照探究一的证明方法证明归纳结论（1）吗？

【问题：】利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.（演示几何图霸第3页）

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（图3-4）

分析：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为'；

②如果平面π与平面'的交线为m，在图中椭圆上任取一点M，该Dandelin球与平面的切点为F2，则点M到点F2的距离与点M到直线m的距离比是常数（小于1）.（称点F2为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）

证明：上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆S，并与圆锥的底面平行，记这个圆S所在平面为'，设平面与'的交线为m，在椭圆上任取一点M，连接MF2，在平面中，过M做m的垂线，垂足为A，过M做平面'的垂线，垂足为B，连接AB，则AB是AM在平面'上的射影.

容易证明,mAB.故MAB是平面与平面`交成的二面角的平面角.

在RtABM中,AMB,所以MBMAcos.1

2

设过M的母线与圆S交于点Q,则在RtMQB中,QMB,所以MBMQcos.

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由12得MF2cosMF2cos.因为0,故coscos,则1.

MAcos2MAcos由上所述可知,椭圆的准线为m,椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为coscos常数,因此椭圆的离心率为e,coscos即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.师：探究二的证明是利用椭圆的第二定义证明. 设计意图：利用动态演示，培养学生的观察能力与空间直观能力；培养学生的推理论证能力、运算求解能力 . 师生活动：教师利用几何图霸动态演示，引导学生观察并推理证明.

（四）

活学活用，类比迁移

【引例】：（2015•浙江）如图（图1-1），斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨迹是（

）

（图1-1）

A

直线

B 抛物线

C 椭圆

D 双曲线的一支

分析：问题中的AP是以AB为轴的圆锥的母线，且母线与圆锥的轴的夹角30，平面与轴AB所成的角60去截圆锥，所以截口曲线的轨迹是椭圆. 设计意图：本题是立体几何与解析几何相结合来考查学生对知识的综合能力和转化迁移能力. 增强学生对知识的应用意识和创新意识.，以及深刻体会到高考题是“源于书本高于书本”的命题思想，平时注重书本知识的眼神和拓展. 师生活动：学生思考讨论后，教师提问并点评. 【例1】：用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，你能仿照探究中的方法，证明截口曲线也是椭圆吗？

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（图4-1）（图4-2）

分析：PK1PF1,PK2PF2,PF1PF2PK1PK2K1K

（定值）2练习：（2008•浙江）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（

）

A．圆

B．椭圆

C．一条直线

D．两条平行直线

【考点】椭圆的定义；平面与圆柱面的截线．

【分析】根据题意，因为三角形面积为定值，从而可得P到直线AB的距离为定值，分析可得，点P的轨迹为一以AB为轴线的圆柱面，与平面α的交线，分析轴线与平面的性质，可得答案．

【解答】解：本题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题，

因为三角形面积为定值，以AB为底，则底边长一定，从而可得P到直线AB的距离为定值，

分析可得，点P在以AB为轴线的圆柱面与平面α的交线上，且α与圆柱的轴线斜交，

由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得P的轨迹为椭圆；

故选：B．

设计意图：例1和练习可以有效地反馈教学效果，巩固所学知识，同时锻炼学生的知识迁移能力，类比证明和举一反三能力，提升学生的思维能力.

师生活动：以练带讲.

（五）

课堂小结，课外延伸

1、课堂小结：

本节课你学到了什么？

利用Dandelin球模型，运用椭圆的定义对截口曲线进行验证.

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2、课后思考：

截口曲线还可以是双曲线，抛物线，同学们能否利用Dandelin双球证明呢？

设计意图：既是对本节内容的回顾，同时又为学有余力的学生指明探究的方向．

师生活动：课后小结采用问答形式，课后思考留课后学生自己完成.

（六）作业布置：

作业： 1、一个半径为2的球放在桌面上，桌面上的一点A1的正上方有一个光源A，AA1 与球相切，AA16，问：球在桌面上的投影是什么形状？则它的离心率等于________。

Q1

（图5-1）

（图5-2）

设计意图：反馈教学效果，巩固所学知识.作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足.

七、板书设计

椭圆第一定义 椭圆第二定义

§探究与发现

为什么截口曲线是椭圆

电脑投影屏幕

Dandelin球模型介绍

证明一：

证明二：

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