测试国家获奖教案

第15课时

圆单元复习

章知识梳理

关键点拨与举例

如图，在⊙O中，AB，AC，BC为弦，

知识点一：圆的有关概念与性质

：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径.

：圆上ACB为半圆，AC，BC为劣弧，

任意两点间的部分叫做圆弧吗，简称弧；大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．半圆也是弧.

径定理及推论：

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4.弦、弧、圆心角关系定理：

CAB为优弧.

垂径定理几何语言：

∵CD⊥AB，且CD为直径，

∴AE=BE，AE=BE，AC=BC.

1.如图，已知AB是⊙O的直径，

︵C、D是BE上的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE等于(

) A.

40°

B. 60°

C. 80°

D. 120°

【答案】C

5.圆周角定理及推论：

(1)定理：一条弧所对的圆周角等于它2.如图，在⊙O中，已知∠AOB＝120°，则∠ACB所对的圆心角的一半. ＝___ _°. (2)推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上②半圆或直径所对的圆周角是90°；一点，∠A＝50°，则∠DCB＝____°，∠DCE＝90°的圆周角所对的弦是直径，所对___°.

的弧是半圆. （3）圆内接四边形对角互补.

第2题

第3题

【答案】60°；130°，130°.

知识点二：点、线与圆的位置关系

6

7. . 3.若⊙O的半径为2.

(1)若线段OP＝3，则点P在圆_____；【答案】外

(2)若线段OP＝1，则点P在圆_____.【答案】内

4.若⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为d. (1)当d＝3，则直线与圆________；【答案】相离

(2)当d＝2，则直线与圆________.【答案】相切

8.切线的性质：

5.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，下列错误的是(

)

【答案】D A. PA＝PB

B. OP平分∠BPA

︵︵C. BC＝AC

D. PO＝2AO

6. △ABC中，∠C为直角，AB＝2，则这个三角形的

外接圆半径为________.

【答案】1

7.如图，点I是△ABC的内心．∠A＝80°，则∠BIC 的度数为______．

【答案】130°

9.切线的判定：

10.切线长定理：

11.三角形的外心：

①定义：三角形外接圆的圆心. ②性质：③作法：作

12.三角形的内心：

①定义：三角形内切圆的圆心. ②性质：

③作法：作

知识点三：正多边形与圆

13.正多边的相关概念及计算：

O是正多边形ABCDEF的外接圆,则：

O称为正多边形ABCDEF的中心；

AO称为正多边形ABCDEF的半径；

∠AOB称为正多边形ABCDEF的中心角；

OH称为正多边形ABCDEF的边心距. 知识点四：弧长与扇形

14.弧长：

方法点拨：在正多边形内构造以“边心距、半边（边的一半），半径”构成的直角三角形进行相关计算.如图FOH.

中RtDlAB=15n?2pR

360.扇形：

S扇=n1?pR2lR3602

16.圆锥：

（1）圆锥的侧面展开图是扇形. （2）底面周长＝侧面展开扇形的弧长. （3）S圆锥侧＝

11RlR2r. 22

二．基础巩固

8．如图，⊙O的半径是5，弦AB＝6，OE⊥AB于点E，则OE的长是

.

9．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点M，连接BC、AD，∠AMD＝100°，∠A＝30°，则∠B＝

.

10．如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC＝42°，则么∠ABC＝

.

11．如图，ABCD为⊙O内接四边形，若∠D＝65°，则∠B＝

.

12．⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P与⊙O的位置关系是

. 13．已知⊙O的半径为1，且圆心O到直线l的距离是2，则直线l与圆的位置关系是

.

15．已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是

，扇形面积

为

.

16．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为9m，那么花圃的面积为

.

18．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为

.

19．边长为6的正六边形的边心距为

.

三．综合运用

21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC，BC，BD，AD，若CD平分∠ACB，∠CBA＝30°，BC＝3，则AD的长为

.

23．如图，在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．

求证：BD＝CD．

24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点F，C在⊙O上，连接AC，AF，OC，弦AC平分

∠FAB，∠BOC＝60°，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．

（1）求扇形OBC的面积；（结果保留π）

（2）求证：CD是⊙O的切线．

四．中考链接

25．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是

．

26．（2017•广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC的大小为（

）

A．130°

B．100°

C．65°

D．50°

的中点，27．（2016•深圳）如图，在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2的面积为（

）

时，则阴影部分

A．2π﹣4

B．4π﹣8

C．2π﹣8

D．4π﹣4

，∠28．（2018•黄石）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE＝2BCD＝120°，A为（1）求线段BD的长；

的中点，延长BA到点P，使BA＝AP，连接PE．

（2）求证：直线PE是⊙O的切线．

【答案】

8.4．

9.50°．

10.48°．

11.115°．

12.点P在⊙O外．

13.相离．

14. 15.

16.27π.

17.．

18.8π．

19.3．

20.8．

21.6．

22.．

23.证明：∵AB＝AC，

∴＝，

，．

13∴∠ADB＝∠ADC，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAD＝∠DAC，

∴＝，

∴BD＝CD．

24.解：（1）∵AB＝4，

∴OB＝2

∵∠COB＝60°，

∴S扇形OBC＝＝

（2）∵AC平分∠FAB，

∴∠FAC＝∠CAO，

∵AO＝CO，

∴∠ACO＝∠CAO

∴∠FAC＝∠ACO

∴AD∥OC，

∵CD⊥AF，

∴CD⊥OC

∵C在圆上，

∴CD是⊙O的切线. 25.50°．

26.C．

27.A．

28.（1）解：连接DE，如图，

∵∠BCD+∠DEB＝180°，

∴∠DEB＝180°﹣120°＝60°，

∵BE为直径，

∴∠BDE＝90°，

在Rt△BDE中，DE＝BD＝DE＝×BE＝＝3；

×2＝，

（2）证明：连接EA，如图，

∵BE为直径，

∴∠BAE＝90°，

∵A为的中点，

∴∠ABE＝45°，

∵BA＝AP，

而EA⊥BA，

∴△BEP为等腰直角三角形，

∴∠PEB＝90°，

∴PE⊥BE，

∴直线PE是⊙O的切线．