正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系优秀教案板书设计

24.3《正多边形和圆》

【知识与能力目标】

1、正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念；

2、能运用正多边形和圆的知识解决有关计算问题；

3、会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

【过程与方法目标】

通过正多边形和圆的关系教学，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般，从部分到整体的认识事物规律的能力，以及数形结合的方法解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】

通过等分圆周的方法画正多边形，让学生感受正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱数学，热爱生活。

【教学重点】

了解正多边形的有关概念，并能进行计算。

【教学难点】

能进行正多边形和圆的有关计算。

教学过程

一、创设情境，引入新课

问题1

（1）等边三角形的边、角各有什么性质？

（2）正方形的边、角各有什么性质？

（3）等边三角形与正方形的边、角性质有什么共同点？

各边相等、各角相等。

问题2

（1）我们已知学过正多边形，符合什么条件的多边形叫正多边形？

（2）你能举出几个正多边形的实例吗？正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形吗？

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。

设计意图：问题1回顾正三角形和正方形的边、角性质，达到引入正多边形的性质的目的；问题2回顾正多边形的定义和性质，为接下来学习“正多边形和圆”准备条件。

二、探索发现，形成新知

问题3

正多边形在日常生活中无处不在。你能举出一些这样的例子吗？

日常生活中，我们经常能看到正多边形形状的物体，利用正多边形，也可以得到许多美丽的图案。

问题4

把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE。这个五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形吗？

证明：∵ABBCCDDEEA

，∴

AB＝BC＝CD＝DE＝EA，BCE3ABCDA。∴

∠A＝∠B。同理

∠B＝∠C＝∠D＝∠E。

又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴

五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆。

追问1：你知道什么是正多边形的中心、半径、中心角和边心距吗？

我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距（如图）。

问题5

我们知道，依次连结圆的五等分点所得的圆内接五边形是正五边形。如果n等分圆周，(n≥3)、n=6，n=8……是否也正确呢？

因为在同圆中，相等的弧所对的弦相等，n等分圆就得到n条弦等，也就是n边形的各边都相等。又n边形的每个内角对圆的(n－2)条弧，而每一内角所对的弧都相等，由相等的

弧所对的圆周角相等，又证明了n边形的各角都相等，因此圆内接正五边形的证明具有代表性。

定理：把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。

追问：为何要“依次”连结各分点呢？缺少“依次”二字会出现什么现象？

问题6

你能用圆心角来等分圆周吗？

由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得到相应的正多边形。例如，画一个边长为1。5 cm的正六边形时，可以以1。5 cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个等于36060的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取6与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次连接各分点，即可得到正六边形（如下图）。

追问：你会用用圆规和直尺来作正方形吗？

用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形（下图）。

三、运用新知，深化理解

例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）。

360解：

如图，连接OB，OC。由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于60，6•△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径。

因此，亭子地基的周长l6424（m）。

作OP⊥BC垂足为P。在Rt△OPC中，OC=4m，PC11BC42（m），利用22

勾股定理，可得边心距r422223（m）。

所以亭子地基的面积S11lr242341.6m2。

22例2：用等分圆周的方法画出下列图案。

提示：

第1幅图案：以圆的三等分点为圆心，圆的半径为半径作三条弧。

第2幅图案：以正六边形的各边中点为圆心，正六边形的边长为直径向圆外画半圆，就得到这幅图案。

第3幅图案：作圆的内接正五边形，再以正五边形的各个顶点为圆心，边长为半径画十条弧。

四、学生练习，巩固新知

练习1

如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（

）

A.60°

B.45°

C.30°

D.22.5°

答案：C

练习2

圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（

）

A.36°

B.60°

C.72°

D.108°

答案：C

练习3

如图，A、B、C是⊙O的三等分点，A、D、E、F、G是⊙O的五等分点，求证：BE是⊙O的内接正十五边形的一边。

分析：如果能证出BE的度数是问题就解决了。

36024，就说明B、E是⊙O的相邻的十五等分点，15证明：由题意，ADDE，且它们的度数为36036072，而AB的度数为120，53360，即BE是⊙O的内接15BEADDEAB，所以BE的度数为727212024正十五边形的一边。

五、课堂小结，梳理新知

本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？

1、正多边和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，•正多边形的中心角，正多边的边心距。

2、正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、•正多边的边心距之间的等量关系。

3、画正多边形的方法。

4、运用以上的知识解决实际问题。

六、布置作业，优化新知

1、教科书习题24.3第2题，第3题，第4题；（必做题）

2、教科书习题24.3第5题，第7题，第8题。（选做题）