测试教学设计(教案)

小专题集训四

切线的判定和性质

类型一:切线的判定

1.如图,AB为☉O的直径,圆周角∠ABC=40°,当∠BCD= 50°

时,CD为☉O的切线.

2.如图,已知点O为正方形ABCD对角线AC上一点,以点O为圆心,OA长为半径的☉O与BC相切于点M,与AB,AD分别相交于点E,F.

求证:直线CD是☉O的切线. 证明:如图,连接OM,作ON⊥CD于N.

因为四边形ABCD是正方形, 所以CA平分∠BCD. 因为BC是☉O的切线, 所以OM⊥BC. 因为ON⊥CD, 所以OM=ON. 即ON是☉O的半径.

所以直线CD是☉O的切线. 3.(2017益阳)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D在AB的延长线上,且∠BCD=∠A.

(1)求证:CD是☉O的切线; (2)若☉O的半径为3,CD=4,求BD的长. (1)证明:如图,连接OC.

因为AB是☉O的直径,C是☉O上一点, 所以∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°. 因为OA=OC, 所以∠ACO=∠A, 因为∠BCD=∠A, 所以∠ACO=∠BCD, 所以∠BCD+∠OCB=90°, 即∠OCD=90°, 即OC⊥CD. 所以CD是☉O的切线. (2)解:在Rt△OCD中,∠OCD=90°,OC=3,CD=4, 由勾股定理,得

OD===5, 所以BD=OD-OB=5-3=2. 类型二:切线的性质

1.如图,在平面直角坐标系中,☉M与x轴相切于点A(8,0),与y轴分别交于点B(0,4)和点C(0,16),则圆心M到坐标原点O的距离是( D )

(A)10 (B)8

(C)4

(D)2

2.(2017连云港)如图,线段AB与☉O相切于点B,线段AO与☉O相交于点C,AB=12,AC=8,则☉O的半径长为

5 .

3.(2017北京节选)如图,AB是☉O的一条弦,E是AB的中点,过点E作EC⊥OA于点C,过点B作☉O的切线交CE的延长线于点D.

求证:DB=DE. 证明:因为AO=OB, 所以∠OAB=∠OBA. 因为BD是☉O的切线,

所以OB⊥BD, 所以∠OBD=90°, 所以∠OBE+∠EBD=90°. 因为EC⊥OA, 所以∠CAE+∠CEA=90°. 因为∠CEA=∠DEB, 所以∠EBD=∠BED. 所以DB=DE. 4.(2017天津)已知AB是☉O的直径,AT是☉O的切线,∠ABT=50°,BT交☉O于点C,E是AB上一点,延长CE交☉O于点D.

(1)如图①,求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②,当BE=BC时,求∠CDO的大小. 解:(1)如图①,连接AC,

因为AT是☉O的切线, 所以AT⊥AB,即∠TAB=90°. 所以∠T=90°-∠ABT=90°-50°=40°. 因为AB是☉O的直径,

所以∠ACB=90°. 所以∠CAB=90°-∠ABC=90°-50°=40°. 所以∠CDB=∠CAB=40°. (2)如图②,连接AD,

因为BE=BC,∠ABT=50°, 所以∠BCE=∠ABT=(180°-∠EBC)=×(180°-50°)=65°. 所以∠BAD=∠BCD=65°. 因为OA=OD, 所以∠ODA=∠OAD=65°. 因为∠ADC=∠ABC=50°, 所以∠CDO=∠ODA-∠ADC=65°-50°=15°. 类型三:切线的判定和性质的综合应用

1.如图,P为☉O的直径BA延长线上的一点,PC与☉O相切,切点为C,点D是☉O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:①PD与☉O相切;②四边形PCBD是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中正确的个数为( A )

(A)4 (B)3

(C)2 (D)1 2.如图,AB是☉O的直径,点C,D在圆上,且四边形AOCD是平行四边形,过点D作☉O的切线,分别交OA延长线与OC延长线于点E,F,连接BF. 求证:BF是☉O的切线.

证明:如图,连接OD,

因为四边形AOCD是平行四边形, 所以AD∥OC, 所以∠FOB=∠DAO,∠FOD=∠ODA. 因为OA=OD, 所以∠DAO=∠ODA, 所以∠FOB=∠FOD. 在△FOB与△FOD中,

所以△FOB≌△FOD(SAS). 所以∠FBO=∠FDO. 因为EF是☉O的切线, 所以∠FDO=90°,

所以∠FBO=∠FDO=90°. 因为OB是☉O的半径, 所以BF是☉O的切线. 3.如图,已知BC是☉O的直径,AC切☉O于点C,AB交☉O于点D,E为AC的中点,连接DE.

(1)若AD=DB,OC=5,求切线AC的长; (2)求证:ED是☉O的切线. (1)解:连接CD,如图1所示,

因为BC是☉O的直径, 所以∠BDC=90°, 即CD⊥AB, 因为AD=DB,OC=5, 所以CD是AB的垂直平分线, 所以AC=BC=2OC=10. (2)证明:连接OD,如图2所示,

因为∠ADC=90°,E为AC的中点, 所以DE=EC=AC, 所以∠1=∠2, 因为OD=OC, 所以∠3=∠4, 因为AC切☉O于点C,所以AC⊥OC, 所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°, 即DE⊥OD,所以ED是☉O的切线. 4.如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,☉O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC,交AC于点E,交PC于点F,连接AF.

(1)求证:AF是☉O的切线; (2)已知☉O的半径为4,AF=3,求线段AC的长. (1)证明:连接OC,如图所示.

因为AB是☉O的直径,所以∠BCA=90°,

因为OF∥BC, 所以∠AEO=90°,∠1=∠2,∠B=∠3,所以OF⊥AC, 因为OC=OB,所以∠B=∠1,所以∠3=∠2, 在△OAF和△OCF中,所以△OAF≌△OCF(SAS), 所以∠OAF=∠OCF, 因为PC是☉O的切线,所以∠OCF=90°, 所以∠OAF=90°, 所以FA⊥OA,所以AF是☉O的切线. (2)解:因为☉O的半径为4,AF=3,∠OAF=90°, 所以OF===5,

因为FA⊥OA,OF⊥AC,所以AC=2AE, S△OAF=AF·OA=OF·AE, 所以3×4=5×AE,解得AE=, 所以AC=2AE=.