3.2.3 空间的角的计算PPT专用教学设计内容

空

间

的

角

的

计

算

1背景

本文以《空间的角的计算》为例，探究如何设置问题，引领学生发现问题，解决问题，提升课堂效益.

首先和学生们一起回顾《空间向量的应用》这节所学习的内容.为了用向量去刻画空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系，规定了直线的方向向量和平面的法向量，解决了平行和垂直这两种特殊位置关系的判定和证明.对于一般情形，两条直线、直线和平面、平面和平面既不平行也不垂直，如何去计算它们所成的角？综合立体几何一章所学，将空间角的计算转化成对应的平面角计算问题.以求异面直线所成角为例，类比推出直线与平面，平面与平面所成角的求解方法，选择向量法或坐标法运用空间向量的数量积公式，求出向量所成的角，而再去确定空间的角的大小.此过程中发现问题，并讨论解决问题，找出向量角和空间角之间的联系. 2 教学过程及分析

2.1复习回顾：

问题1：空间的角的有哪些？

生：异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角. 问题2：在必修2《立体几何初步》一章中，我们是如何计算这些空间角的？

生：找出这些空间角所对应的平面角，转化成求两条相交直线所成角的问题. 问题3：上节课我们学会借助于直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间的直线和平面的特殊位置关系，再来一起回顾一下：

设空间两条直线l为n11,l2的方向向量分别为e1,e2，两个平面1,2的法向量分别,n2

1

平行

垂直

[来源:Z+xx+k.Com]l1与l2l1与e1//e2e1n1n1//n2e1e2

e1//n1

n1n21与2

分析：通过3个问题的探讨，使学生明确本节课要解决的问题，回顾解决问题的知识.针对高二的学生，没有必要设置实际问题的背景. 2.2 引出新课

问题1：对于一般情形，两条直线、直线和平面、平面和平面既不平行也不垂直，如何去刻画它们的位置关系？[来源:Zxxk.Com]

生：用空间角来刻画. 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角. 2.3 意义建构

问题2：下面我们就以一个具体的问题为例，探究空间角的计算方法. 已知E,F分别是正方体ABCDEFABCD''''的棱BC和CD的中点，求AD''D与C'所成角的大小. 生1：直线AD'与直线EF是一对异面直线，连接A'DB,ABE,F'. ABCD''''B'分别是正方体ABCD//DB的棱BC和CD的中点，'得到EF',求A'D与EF所成角转化成求相交直线A'DDFCEB与DB所成角，放到等边三角形AADB60DB中求解，从而得到A，即异面直线A'D与EF所成角为60. 师：这位同学用的是立体几何的知识用综合法解决了这个问题.若将E点移到BC的三等分点，综合法还行吗？

生2:若E点是BC的三等分点，综合法可以求解，但是此时的异面直线A与EF所成角不再是特殊三角形中的特殊角，我们要借助解三角形求角了。

师：很好，如果再将E点移到BC的四等分点，能用综合法解决问题吗？

生齐答：能. 师：不管E点位于BC上的什么位置，我们都可以用综合法最后转化成解三角形的问题求角的大小，但是运算很大。那同学们思考下，是否有更一般的方法？必修3我们学了了算法，看看能否设计解决这一类问题的算法？（为了节省时间，我们仍以原问题为例，即若E点是BC的中点）

分析：及时的追问，给出问题的变式，激发了学生的探究欲望，引导学生向本节课的核心问题进发. 生2：发现异面直线所成的夹角与两条直线的方向向量A角相等，由向量的数量积去计算两个向量所成的夹角. 师：那我们一起来尝试一下：

不妨设正方体的棱长为1，以DA间直角坐标系Dxyz'''DD与EF所成的夹,DC,DD'为单位正交基底，建立如图所示的空zC'B'，则各点的坐标为: 'A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A(1,0,1),C(0,1,1),E(12,1,0),F(0,12' A'D',0).

EF(12,12,0),则AD(1,0,1),, xADFCBEy

所以由cosAD'2,EF22,ADEF'12,

'AD,EF'ADEFADEF''12,（AD,EF0,）

可得向量A'D与EF的夹角为60.因此异面直线A'D与EF所成角为60. 师：如果取FE为直线EF的方向向量，那么方向向量的夹角和这两条异面直线所成的角有什么关系？

生：两个角互补. 师：我们用空间向量从坐标角度解决了向量夹角的问题，当然，我们还可以用向量数量积的另外一种形式，向量形式，即选取不共线的一组向量，作为基底，线性表示出向量A'D与EF，也可以解决问题.留给同学们课后完成. 师：用立体几何知识即综合法角度去求解异面直线所成的角，通常要添加辅助线，先找到异面直线所成的角对应平面角，然后转化成解三角形问题，有时运算量很大.从空间向量的角度，先求出它们的方向向量的夹角，再确定两条异面直线所成的角，有时就会方便简单很多，这个时候空间向量的优势就体现出来了.我们把上述分析总结如下表：

类别[来源:Z。xx。k.Com]

立体几何

通过平移转化成两条相交直线所成的锐角或者直角. l2l2l1Ol11

空间向量

直线l的方向向量为e，直线l12直线l

1与

直线l

2的方向向量为e，

2（异面）

0,2l2n2n1Ol1

两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补.

2.4 问题延伸

问题3:学会了去计算异面直线所成的角，类似的我们就可以解决直线与平面所成的角和平面与平面所成的角的计算问题。我们仍以开头的例子为背景，从具体的问题入手：

（注：此处可以放手让学生自己设计直线与平面相交，平面与平面相交计算角的问题）

已知E,F分别是正方体ABCD(1)求A(2)求A

分析和讨论的过程由学生们自主完成，教师全程辅助. 总结：解决了直线和平面所成角和平面和平面所成的角的计算问题，我们来丰富研究异面直线所成的角后得到的表格：

类别

直线l

1'ABCD''''的棱BC和CD的中点，

zC'D'A'B'DF与EF所成角的大小；

与平面BDB''''EB所成角的余弦值；

的余弦值. (3)二面角CBDAFCEByx

立体几何

空间向量

11通过平移转化成两条相交直线所直线l的方向向量为e，直线成的锐角或者直角. l2l2l1Ol1与

直线l

2l2的方向向量为e，

2（异面）

0,2l2n2n1Ol1

两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补. 直线l

与

平面

（斜交）

0,2斜线与它在平面内的射影所成的直线l的方向向量为e，平面锐角.[来源:Z.xx.k.Com]

P的法向量为n，

nPe

αlOθQαlOθQ

直线与平面所成的角e,n2

平面

与

平面

（相交）

0,二面角的平面角

平面的法向量为n，平面1的法向量为n

2αAθPlαn1n2θβ

Bβ

二面角学|科|网]lAPB

的平面角为两个相交平面所成的角与它们的法向量所成的角相等或[来源:互补. （都指向（背离）平面，大小相等，否则互补）

分析：结合课堂具体实际，平面与平面所成的角的计算问题可作为课外延伸探索题布置给学生，提示学生该如何转化。

2.4 课堂小结：

本节课我们学习了空间的角的计算问题，具体解决了直线和直线所成的角和直线与平面所成的角的计算问题，我们运用转化与化归及类比推理的思想，将空间的角的计算问题转化成向量所成夹角的计算问题。

1 直线与直线所成的角直线的方向向量所成的夹角（相等或者互补）；

2 直线与平面所成的角直线的方向向量与平面的法向量所成的夹角；

3 平面与平面所成的角平面的法向量所成的夹角（相等或互补）

3 教学反思

本节课主要是空间向量的应用，借助直线的方向向量和平面的法向量，运用空间向量的数量积公式去计算空间中的角.笔者以回顾旧知，提出问题引出新课，以“发现问题——解决问题——发现问题”的模式链接成课。以学生熟悉的正方体为背景，给出3个具体的数学问题.师生合作完成对问题1的解决后，及时追问与总结，并进行相关拓展运用，即用类似的方法去研究问题2和问题3.层层推进，既有对比又有联系.相信学生，放心大胆的把课堂交给学生.学生在探索中亲历问题的发现与解决过程，激发了学生的学习热情和对新知的求知欲，加深对知识的理解、发展了思维、促进知识的迁移、培养了自身的科学素养.在课堂教学的时候，教师指导，学生积极参与，整节课进行的较为顺利，也打消了笔者课前的顾虑，担心学生放不开，解决不了这些问题.