1.1.2 充分条件和必要条件教学设计与反思

§1.1.2

充分条件和必要条件（1）

教学目标：

1．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义；

2．结合具体命题，学会判断充分条件、必要条件、充要条件的方法；

3．培养学生的辩证思维能力．

教学重点及难点：

1．充分条件、必要条件的判断；

2．理解充分条件、必要条件的判断方法．

讲授新课：

一、复习引入

同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈．”那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于说明你是她的孩子．那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．

1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q．

2．四种命题及相互关系：

二、学生活动

问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？

（1）若x＝y，则x2＝y2

（2）若ab = 0，则a = 0 （3）若x2>1，则x>1 （4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0 推断符号“”的含义

“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）. 命题(1)、

(4)为真，是由p经过推理可以得出q，即如果p成立，那么q一定成立，此时可记作“pq”，命题(2)、（3）为假，是由p经过推理得不出q，即如果p成立，推不出q成立，此时可记作“pq.”

说明：

“pq”表示“若p则q”为真，可以解释为：如果具备了条件p，就是以保证q

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成立，即表示“p蕴含q”。

三、建构数学

一般地，如果已知pq，那么就说：p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果已知pq，且qp，那么就说：p是q的充分且必要条件，简记充要条件；如果已知pq，那么就说：p不是q的充分条件；q不是p的必要条件；

"充分”即"够了",”必要”的意思是不可少. 回答上述命题(1)(2)(3)(4)中的条件关系. 命题(1)中因x＝y

x2＝y2，所以“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件，“x2＝y2”是“x＝y”的必要条件；

x2＝y2x＝y，所以“x2＝y2”不是“x＝y”的充分条件，“x＝y”不是“x2＝y2”的必要条件；

“命题(2)中因a = 0

ab = 0，，所以“a = 0”是“ab = 0”的充分条件.“ab = 0”是“a = 0”的必要条件. ab = 0

a = 0，所以“ab = 0”不是“a = 0”的充分条件，“a = 0”不是“ab = 02”的必要条件；

命题(3)中，因“x>1x2>1”，所以“x>1”是x2>1的充分条件，“x2>1”是“x>1”的必要条件.

x2>1

x>1，所以“x2>1”不是“x>1”的充分条件，“x>1”不是“x2>1”的必要条件. 命题4)中，因x＝1或x＝2

x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要分条件. 由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1)充分不必要条件，即pq，而q

p. (2)必要不充分条件，即：p

q，而qp. (3)既充分又必要条件，即pq，又有qp.或(pq)

(4)既不充分又不必要条件，即p

四、数学运用

例1填表

p y是有理数

x>5

m，n全是奇数

q y是实数

x>3 m+n是偶数

q，又有q

p. pq(真假)

真

真

真

真

真

假

假

qp(真假)

p是q的什么条件

假

假

假

假

真

真

真

充分不必要

充分不必要

充分不必要

充分不必要

充分必要

必要不充分

必要不充分

ab

a>b xAB

a0

x=1且y=2 xA且xB

ab0

x1y20

2

集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 给定两个条件p ,q，要判断p是q的什么条件，也可考虑集合：A={x |x满足条件p},B={x

|x满足条件q} pq,相当于AB, qp,相当于AB

pq,相当于AB

例3. 已知p∶x-8x-20＞0，q∶x-2x+1-a＞0。若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围. 解2.p∶A=｛x｜x＜-2，或x＞10｝，q∶B=｛x｜x＜1-a，或x＞1+a，a＞0}

如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有

222a0,1a2, 解得0＜a≤3. 1a10.

四、回顾小节

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. （1）若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. 2）判断充分、必要条件的基本步骤：

①认清条件和结论；

②考察

p

q

和

q

p

的真假。

3）判别技巧：

①

可先简化命题；

②

否定一个命题只要举出一个反例即可；

③

将命题转化为等价的逆否命题后再判断。

五、课后练习

1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

①“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的 充分 条件；

22②对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有两个正根”的 充分 条件；

③“x3”是“|x|3”的 必要 条件；

④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的 充分 条件；

⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的 必要 条件；

3

2．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（

A ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知真命题“a≥bc＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的_充分 _条件．

424．是的什么条件?并说明理由. 42解：244

但反之却不一定成立。例如取α=1,β=5,显然满足

244242但不满足所以是的必要但不充分条件. 242

5、设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分非必要条件，那么丙是甲的(

A

) （A）充分非必要条件，（B）必要非充分条件，

（C）充分且必要条件，（D）既不充分也不必要条件

7．设p是q的充分不必要条件，则

p是q的

必要不充分

条件．

六、课外作业

课时训练

第2课时

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