2.2.1 椭圆的标准方程课件配套优秀

椭圆的标准方程

一、教材分析

1、地位及作用

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用。同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材。

推导椭圆的标准方程的方法对双曲线、抛物线方程的推导具有直接的类比作用，为学习双曲线、抛物线内容提供了基本模式和理论基础。因此本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容。

2、教学内容与教材处理

椭圆的标准方程共两课时，第一课时所研究的是椭圆标准方程的建立及其简单运用，涉及的数学方法有观察、比较、归纳、猜想、推理验证等，我将以课堂教学的组织者、引导者、合作者的身份，组织学生动手实验、归纳猜想、推理验证，引导学生逐个突破难点，自主完成问题，使学生通过各种数学活动，掌握各种数学基本技能，初步学会从数学角度去观察事物和思考问题，产生学习数学的愿望和兴趣。

3、教学目标

根据教学大纲和学生已有的认知基础,我将本节课的教学目标确定如下：

1.知识目标

①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，

②能根据已知条件求椭圆的标准方程，

③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法，体会数形结合的数学思想。

2.能力目标

①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，

②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，

③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

3.情感目标

①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，

②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，

③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

4、重点难点

基于以上分析，我将本课的教学重点、难点确定为：

①重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，

②难点：椭圆的标准方程的推导。

二、教法设计

在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

三、学法设计

通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识。又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质。

四、学情分析

１

1.能力分析

①学生已初步掌握用坐标法研究直线和圆的方程，

②对含有两个根式方程的化简能力薄弱。

2.认知分析

①学生已初步熟悉求曲线方程的基本步骤，

②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，

③学生已经初步掌握研究直线和圆的基本方法。

3.情感分析

学生具有积极的学习态度，强烈的探究欲望，能主动参与研究。

五、教学程序

从建构主义的角度来看，数学学习是指学生自己建构数学知识的活动，在数学活动过程中，学生与教材及教师产生交互作用，形成了数学知识、技能和能力，发展了情感态度和思维品质。基于这一理论，我把这一节课的教学程序分成六个步骤来进行，下面我向各位作详细说明：

教 学 过 程

设 计 意 图

问题情境的创设应有利于1. 创设问题情境：

激发学生的求知欲。为了复习椭

圆的定义，我设计如下两个学生情境1 请同学们举出生活中椭圆形物体的实例

熟悉的情境：

（展示一些椭圆形物体图片）

通过情境1，让学生感受到情境2 宿迁中学校园内一些椭圆形小花坛

椭圆的存在非常普遍。

小到日常（展示自拍图片）

生活用品，大到建筑物的外形，

天体的运行轨道。

问题1

施工时工人师傅是怎样砌建小花坛的？

（复习椭圆定义，动画演示）

通过情境2和问题1，让学问题2

宿迁中学新校区绿化、美化工作正在进行，准生主动思考如何画椭圆及椭圆备在一块长10米、宽6米的矩形空地上建造一个椭圆形花的定义。 园，要尽可能多地利用这块空地，请问：如何画这个花园的

边界线？

通过问题2，要求学生以小组为单位进行实验、观察、归纳、猜想、概括，激发学生探索的欲望和浓厚的学习兴趣，使学生的6米主体地位得到体现。

10米（动画演示，书写课题）

在学生复习圆的方程的建立过程的基础上，让学生讨论思回顾圆的方程的建立过程，首先是做什么？ 考如何选择适当的坐标系来建（提问学生）

立椭圆的方程，我想学生通过这如何选择适当的坐标系来建立椭圆的方程呢？ 些活动能够建立几种常见的坐（学生回答）

标系，并列出相应的代数方程。

我认为这样有利于培养学生的2. 探求椭圆方程

２

动手实验，分析比较，相互协作等能力。让学生体验到知识的产生过程。

在不同建系下，列出关于x，y的等式。它们都含有两由于化简两个根式的方程个根式，如何化简这种方程？的方法特殊，难度较大，估计学（学生思考回答，师生共同比较生容易想到直接平方，这时可让y 选择）

学生预测这样化简的难度，从而M 确定移项平方可以简化计算。为22nn22此，我首先启发学生如何去掉根xyxym22x 号较好，让学生动手比较，最后F1 O F2

得出移项平方化简方程比较简

单，这样有利于培养学生的分析

比较能力。

xy

22xn2ymy 2图1 MO F1F2x 图2 法一

以两定点F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系（如图1）．

在比较如何化简方程简单后，我选择放手让学生化简，让设M(x,y)为椭圆上的任意一点，设MF1+MF2=m，F1F2=n，学生体验化简方程的艰辛，经受锻炼，尝试成功，提高学生参与（m >n>0）

教学过程的积极性。

nn则F1-，0、F2，0．

22

由MF1+MF2=m得

y 22nn22

xyxymM 移项后

22

再平方

移项得

x

F1 O F2 22

nn22xymxy

22

图1 平方得

３

nnn2222xym2mxyxy

222n整理得

2nxm2mxy2

222222为了让学生明白设常数2a、4x24y22c的合理性。我选择首先设常1所以

即数m,n，然后以2a,2c替换，其m2m2n2目的是让学生体会到设2a,2cx2y2

1222的合理性。

mmn

222

令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程化简可

x2y2得 2221

aac

222这里我选择设b=a-c（b>0）结合图形，找出方程中a、其作用是

c对应的线段．

y 首先美化方程：使方程简洁美、如图，OF2=c，MF2=a，

aM 对称美、和谐美，

与c可以看成Rt△MOF2的斜其次使b具有明显的几何意义：a 边和直角边．那么a2-c2就是原点与椭圆和y轴的交点之间另一直角边的平方，因此我们c 的线段长。

F1

O n再平方得2nx-m4m2x4m2y2

2再整理得4m2-n2x24m2y2m2m2n2

222

x2y2则方程变为221（a＞b

ab

＞0）

由上述过程可知，椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面

这个方程；满足这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上。

所以，这个方程就是所求得椭圆的方程.

法二

以两y

定点F1、F2所在

M直线为x轴，F1

为原点，建立直

角坐标系（如图

2）．

x

O FF设M(x,y)为12

椭圆上的任意一

点，设MF1 + MF2

=m, F1F2=n，

m>n>0，则图2

、F0

10，令b=a-c（b>0），

222

４

F2

x

2222由MF1+MF2=m得

xyxnym

类似第一种方法,移项后平方，整理可得

2mx2+y2=m2-n2+2nx

再平方，整理可得

n

4(m2-n2)(x-)2+4m2y2=(m2-n2)m2

2

nn(x)2

4(x)22y2224y1

1

即所以22n2

222mmmm-n-222

令m=2a,n=2c 即MF1+MF2=2a, F1F2=2c,上面方程为

2

xcy21

a2a2c2

222令b=a-c（b>0），则方程变为

22(xc)y

1(ab0)

22ab

y y

M M

通过这两种方法所得到的椭圆F

F2 x O F1 F2 x 1 O 方程的比较，让学生在比较中体

会哪种方程更能反映椭圆的对

22称美，从而引出椭圆的标准方22

x-cy程。

221

22

ab

22xy

通过比较可知，方程221（a＞b＞0）更简洁。

ab

22xy

把方程221叫做椭圆的标准方程。

ab

总结推导椭圆的标准方程的步骤：

（1）建系——建立适当的坐标系

曲线相对于（2）设点

坐标轴有较（3）列式

多的对称性在得到椭圆的标准方程之移项后

（4）化简

后，我和学生共同总结推倒椭圆再平方y （5）证明

标准方程的步骤，其目的是进一

步强化求曲线方程的一般步骤，M F

1如果椭圆竖起放置，怎样建系？

同时也让学生享受成功的喜悦。

建立如图所示的直角坐标系，对于焦点在y轴上的椭圆O x 类似于刚才的推导过程可得椭圆的的标准方程的建立，我选择让学F2

方程，过程留给同学们课后完成。

生在比较、分析、猜想得到。

F2n，0．

xy1ab

５

让学生猜想结论：由。

yx，并说明理1（a＞b＞0）22ab22x2y2教师从另一角度分析：得到方程221的原始等式ab在得到焦点在y轴上的椭而焦点在y轴上时，由MF1+MF2=2a得圆的标准方程过程中，考虑到学生对这一标准方程可能有怀疑22的情绪，我选择引导学生回到建x2+y+c+x2+y-c=2a

立方程的起始，让学生对比分析对比这两个等式，能发现什么结论？

互换x，y 原来两个方程只是交换两个变量。

y2x2

因此，焦点在y轴上的椭圆的方程为221

ab

由于这两种形式的方程都很简单，因此我们把这两种方

222程都叫椭圆的标准方程（其中b=a-c）

3. 标准方程比较

（1）相同点

①方程中x，y表示椭圆上任意一点的坐标；

②关于x，y的二元二次方程；

③方程右边是常数1，左边是平方和的形式；

222④a是椭圆上的点到两焦点距离和的一半，b＝a-c，c是焦距的一半；

a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b与c大小不定

⑤焦点位置的判定：焦点在较大分母对应的变量的坐标轴上

（2）不同点

标准方程

x2y221ab02ab

y 为

x+c2+y2+x-c2+y2=2a

互换2x，y 2yx1ab0

a2b2A1

y F1

M B2

x M

B2

A1

F1

O B1

F2

A2

x B1

６

O F2

A2

图

形

F1(0,c），F2(0,-c）

A1（0，a）

A2（0，-a）

B1（-b，0）

B2（b，0）

焦点F1(-c,0），F2(c,0）

坐标

与坐A1（-a，0）

A2（a，标轴0）

交点

B1（0，-b）

B2（0，b）

4.初步运用知识

（1）若椭圆的焦距为8，a=5，那么它的标准方程是 x2y2y2x2（1或1）

259259y2x2（2）已知椭圆的方程为1，则 a＝___，b＝94___，c＝___，焦点坐标为 ，与坐标轴交点坐标为 ，焦距等于 ；如果点P为该椭圆上一点，则PF1+PF2＝__ __（ F1，F2为焦点）. ( 总结：

定位

、

定量 待定系数法 )

5.课堂小结

1.推导椭圆的标准方程

2. 椭圆两种标准方程的比较

3椭圆的标准方程的基本求法及应用

4.自主探索，合作交流

（总结本课学习内容及学习方式）

6.课后作业布置

1.基础训练题：课本P28

1. 2. 2.动手操作题：课本P29

7（或用几何画板探求）

3.课后思考题：有关资料显示：“神舟六号”飞船的运行轨道是以地球的中心F2位一个焦点的椭圆。已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面200公里，远地点B (离地面最远的点) 距地面347公里，并且在F2、A、B同一直线上，地球半径约为6371km。你能计算出“神舟六号”飞船的轨道方程吗? (精确到0.01 km)

７

为了让学生建构自己的知识体系，我让学生自己概括所学的内容。我认为这样既能培养了学生的概括能力，又能营造民主和谐的师生关系。

为了进一步巩固椭圆的标准方程，我布置如下作业：

（动画模拟演示）

六、板书设计

§2.2.1 椭圆的标准方程（一）

一、椭圆的两个标准方程

二、求曲线方程的基本步骤

三、初步尝试

８