2.3.1 双曲线的标准方程课件配套优秀公开课教案设计

课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学目标】: 1.知识与技能

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程. 2.过程与方法

教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程. 3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教

具】：多媒体、实物投影仪

【教学过程】: 一.情境设置

复习提问：

(由一位学生口答，教师利用多媒体投影)

问题

1：椭圆的定义是什么？

问题

2：椭圆的标准方程是怎样的？

问题3：如果把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？它的方程又是怎样的呢？

二.理论建构

1.双曲线的定义

引导学生概括出双曲线的定义：

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影）

概念中几个关键词：

“平面内”、

“距离的差的绝对值”

“常数小于F1F2”

MF1F2数学实验：

[1]取一条拉链；

[2]如图把它固定在板上的两点F1、F2；

[3] 拉动拉链（M）。

思考：拉链运动的轨迹是什么？

思考：

1、平面内与两定点的距离的差等于常数2a（小于|F1F2| ）的轨迹是什么？

2、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？

3、平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？

结论：

2.双曲线的标准方程

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）

（1）建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。

(2) 设点

（3）列式

由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

（4）化简方程

由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：

由双曲线定义知

这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的是：

思考:

双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么? 学生得到:

双曲线的标准方程:.

注:(1)双曲线的标准方程的特点：

MyF1OF2x

①双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2

焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) aby2x2

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab②a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0

222其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴

而双曲线是根据项的正负来2判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上

2定义

图像

方程

焦点

a,b,c的关系

椭圆的标准方程：

22

xy1 ab02b2

a

x2y21(a0,b0).a2b2

y2x222yx1（a>0,b>0）

221(a0,b0).ab22ab

相同点：

不同点：

22

(1)xy1和x215y215

259

2222

(2)xy1和yx14334

三.数学应用

例1，双曲线上一点P到F1，F2的距离之差的绝对值等于8，求双曲线标准方程已知双曲线两个焦点的坐标为F1(5,0)，F2(5,0)

解：

变式1:若|PF1|-|PF2|=6呢？

变式2:若||PF1|-|PF2||=8呢？

变式3:若||PF1|-|PF2||=10呢？

练习2.写出符合下列条件的双曲线的标准方程:

（1）a3,b4,焦点在x轴上

（2）c5,b3,焦点在x轴上（3）焦点为0,-6、0,6,a3

(4)焦点F（，0）,F2(5,0),双曲15

例2.求适合下列条件的双曲线的标准方程：线上一点P到F,F14,2的距离的差的绝焦点在x轴上；

(1)

a

3,b对值等于8

（2）a25,经过点A(2,5),焦点在y轴上；

练习3、已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点Ｐ1 ,Ｐ2的坐标分别为



9



，求双曲线的标准方程．

3,42,,5

4



x2y2

练习4.方程1表示双曲线，求m的范围.2mm1

练习5 1. 方程mx2-my2=n中mn<0，则其表示焦点在 轴上的 . 2、

若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的

双曲线，则k .

x2y21 的焦点坐标是 3. 双曲线k44.双曲线2x2y2k 的焦距是6，则k=

x2y25. 若方程 1 表示双曲线，求实数k的取值范围 . k25k

四.课堂小结:

（1）推导双曲线的标准方程（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程

（3）类比法

焦点在y轴上的双曲线方程是

椭圆的焦点由

决定

双曲线的焦点由

决定

在双曲线的标准方程中a,b,c,的关系是

方程AxBy1表示双曲线的充要条件是

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