2.2.2 椭圆的几何性质公开课教案

2.2.2

椭圆的几何性质

学习目标

1．掌握椭圆的简单几何性质．(重点) 2．掌握椭圆的离心率的求法，领会离心率是刻画椭圆“扁圆程度”的量．(难点) 3．会用椭圆及性质处理一些实际问题．(重点、难点) 一、预学

椭圆的简单几何性质

1、完成下列问题.

图形

标准方程

范围

顶点

轴长

焦点

焦距

对称轴

对称中心

离心率

2、填空：

x2y2(1)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的长轴长等于

. x22(2) 椭圆2＋y＝1中，变量x的范围是

.

x2y2a2＋b2＝1(a>b>0)

－a≤x≤a且－b≤y≤b (±a,0)，(0，±b)

y2x2a2＋b2＝1(a>b>0) －b≤x≤b且－a≤y≤a

(±b,0)，(0，±a) 焦点在x轴上

焦点在y轴上

长轴长＝2a，短轴长＝2b

(±c,0)

F1F2＝2c

x轴，y轴

(0,0) ce＝a(0＜e＜1) (0，±c) 1

x2y2(3) 椭圆4＋3＝1的离心率是________．

x22x2y2(4)两个椭圆4＋y＝1和36＋24＝1中，更接近于圆的是________．

x2y22(5)椭圆a2＋4＝1(a>2)的离心率e＝2，则实数a的值为________．

二、领学 互学 展学

1、由椭圆的方程求其几何性质

(1)椭圆2x2＋3y2＝12的两焦点之间的距离为________．

(2)求椭圆81x2＋y2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率．

研究椭圆几何性质的方法：

求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a，b的数值，进而求出c，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．

2、由椭圆的几何性质求方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程．

2(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是3；

(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

由椭圆的几何性质求方程的方法步骤：

2

1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．

2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．

[练习]已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求该椭圆的标准方程．

3、求离心率

(1)知椭圆C的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A和短轴的一个端点B，∠OAB＝30°，则椭圆的离心率为________．

（2）已知椭圆长轴的两个端点到左焦点的距离分别是2和4，求椭圆的离心率；

（3）设F是椭圆的一个焦点，B1B是短轴∠B1FB=60o, 求椭圆的离心率.

思考：

x2y2如图2-2-2，已知F是椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，

P是椭圆上的一3

点，PF⊥x轴，

OP∥AB(O为原点), 则该椭圆的离心率是______．

图2-2-2

求椭圆的离心率，关键是寻找a与c的关系，一般地：

c1若已知a，c，则直接代入e＝a求解；

2若已知a，b，则由e＝b1－a2求解；

3若已知a，b，c的关系，则可转化为a，c的齐次式，再转化为含e的方程求解即可. 三、固学

1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是________．

x2y22．若椭圆36＋a＝1(0＜a＜36)的焦距为4，则a＝________. 3．椭圆的长轴长为10，一个焦点坐标为(4,0)，则它的标准方程为________．

34．已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为2，

且C上一点到C的两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的方程为________．

x2y215．椭圆m＋4＝1的离心率为2，则实数m的值为________.

四、作业：

教材P37习题2.2（2） 6、7

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