3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则主要内容及教案内容

教学课题

选修2-2第一章1.2.2（1）基本初等函数的导数公式及运算法则

一、知识与技能：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则，并能利用公式求简单函数的导数；

二、过程与方法：

1. 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

2.能运用公式处理某些实际问题。

三、情感态度与价值观：

通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．

识记

课标要求

认知层次

知识点

知识点1 基本初等函数的导数公式

知识点2 导数的四则运算法则

理解

应用

∨

综合

∨

1.熟记基本初等函数的导数公式；

2.熟记并掌握导数的四则运算法则；

目标设计

3.应用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解题。

4.运用公式处理某些实际问题。

2情境一：五种常见函数yc、yx、yx、y函数

导函数

yc

yx

yx2

1、yx的导数公式填写下表

x1y

yf(x)xn(nQ*)

yx

x

问题1：上一节的内容中，我们从导数的定义出发，按照求导数的哪三个步骤推导了五个常用函数y＝c、12y＝x、y＝x、y＝、y＝x的导数公式。是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？

x问题2：我们知道,函数yf(x)x(nQ)的导数为ynxn*'n1，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？

情境二：你能用求导的三步骤求出正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数吗？那些原有的变形方法还适用吗？极限会求吗？

1 函数类型

导函数

为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数

例1 根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）yx2

（2）yx9；（3）y2x

（4）y3x（5）ylog3x

例2 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定常函数

幂函数

正、余弦函数

指数函数

对数函数

c0（c为常数）

(xn)nxn1（nQ）

(sinx)cosx，(cosx)sinx

(ax)axlna，(ex)ex

(logax)11，(lnx)

xlnax某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01）

情境三：

以上的求导公式只对单一函数求解起来方便快捷，如果一个函数是由几个不同类型的函数通过加、减、乘、除四则运算组成的，那这样的函数又该如何去求导呢？有没有特定的运算法则可循？

导数的运算法则

问题1：若法则2中的f(x)c（常数），其结果是'导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

'什么？

问题2：你能从中得出什么结论？

'推论：cf(x)cf(x)（常数与函数的积的导数，'f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)等于常数乘函数的导数）

(g(x)0)

3．2g(x)g(x)问题3：积法则与商法则的相同点与不同点是什么？

（积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导,

但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.且商法则分母上为分母函数的平方）

例3．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx32x3

（2）y

＝'x11；

（3）y

＝x

· sin x

· ln x； （4）y

＝x

41x1x【课堂练习】求下列函数的导数

（1）ylog2x （2）y2e（3）y2x3x4（4）y3cosx4sinx

（5）yxlnx

（6）y习题设计：

1. 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足：s（知识点2，易）

2. 已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ） （知识点2，易）

22A.f(x)2(x1) B.f(x)2(x1) C. f(x)(x1)3(x1) D.f(x)x1

x32lnx

x14t4t316t2，求此物体在什么时刻速度为零? 43. 设函数yxn1(nN)在点（1,1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则x1x2xn（ ）

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lln B C D 1 （知识点1，中）

nn1n14. 已知函数f(x)x3bx2axd的图像过点P（0,2），且在点M(1,f(1))处的切线方程为A 6xy70，求函数的解析式。 （知识点2，中）

5. 已知P(1,1),Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程。（知识点1，难）

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