小结名师教学设计1

第三章

导数及其应用复习小结

导数是研究函数的有力工具。回顾本章内容，反思：导数帮助我们解决了哪些问题？

尝试解决以下问题，并感受导数的工具作用。

例1

已知函数f(x)＝6lnx和g(x)＝ax2＋8x－b(a,b为常数)的图象在x＝3处的切线的斜率相等．

(1)求a的值；

(2)求函数F(x)＝f(x)－g(x)的极大值和极小值；

(3)若关于x的方程f(x)＝g(x)有且只有3个不同的实数解，求b的取值范围．

例2 已知函数f(x)＝ax3+bx+c在x＝1处取得极值为c2．

（1）求a、b的值；

（2）若对于任意的x[0,2]，都有f(x)

例3 （12辽宁21）设f(x)＝lnx+x1，证明：当x>1时，f(x)<32(x1).

【反思总结】

我们利用导数主要解决了：

学习至此，请首先完善并重温本章知识结构及主要知识点，然后选择“参考练习”进行再体验。

[知识结构] （2）极大值点与极小值点

①若先增后减(导数值先

后

)，则x0为

点．

②若先减后增(导数值先

后

)，则x0为

点．

4．函数的最值

(1)一般地，如果在[a,b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不

(2)若对于任意的x[2,6]，都有f(x)<2|c|成立，求c的取值范围.

[知识梳理]

1．几何意义：函数f(x)在x=x0处的导数f

′(x0)的几何意义是

。

2．导数与函数单调性的关系

（1）函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，则有：

如果f

′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内

；

如果f

′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内

．

（2）求解函数y＝f(x)单调区间的步骤：

①确定函数y＝f(x)的定义域；

②求导数y＝f

(x)；

③解不等式f

′(x)>0，解集在定义域内的部分为

区间；

解不等式f

′(x)<0，解集在定义域内的部分为

区间．

3．函数的极值

（1）极值点与极值

设函数f(x)在x0及附近有定义且可导，若f

′(x0)=

且函数f(x)在x0两侧的单调性相反，则x0为函数f(x)的

，f(x0)为函数的

．

断的曲线，那么函数y＝f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则最小值为

；最大值为

．

若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则最小值为

；最大值为

．

(3)设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求f(x)的最值的步骤如下：

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与

比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值．

[参考练习]

1．（13课标Ⅰ）已知函数f(x)=ex(ax+b)x24x，曲线y=f(x)在点(0 , f(0))处切线方程为y=4x+4 . (1)求a,b的值; (2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.

2．（12重庆17）已知函数f(x)＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c16．

（1）求a、b的值；

（2）若f(x)有极大值28，求f(x)在[3,3]上的最小值．

3．设函数f(x)=x3ax2+bx+c在x= 1及x=3处取得极值.

(1)求a、b的值；

4．(12年天津)已知f(x)＝13x3+1-a2x2 axa，xR，其中a >0．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间(2,0)内有两个零点，求a的取值范围．

5．设函数f(x)=x36x+5，xR

(1)求函数f(x)的单调区间和极值；

(2)已知当x(1,)时，f(x)≥k(x1)恒成立，求实数k的取值范围.

6．（14课标Ⅰ）设函数f(x)=alnx+ 1－a2x2－bx(a1)，曲线y=f(x)在点(1 , f(1))处的切线斜率为0. (1)求b的值; (2)若存在x(xa01，使得f0)<

a－1，求a的取值范围。