1.1.1 命题优质教案设计

数列复习教学设计

高三

赵娜

高三数列复习教学设计

一、考情解读

1.等差、等比数列的基本量和性质的考查是高考热点

2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．

二、学情分析

高三的学生正处在身心发展的鼎盛时期，思维活跃勇于探索，具备了的用旧知识解决新问题的能力。但由于学生基础薄弱，驾御知识的能力比较弱。因此，在教学过程中教师必须进行细致的启发和引导，从而激发学生的学习兴趣，充分发挥其主观能动性，才能达到预期的教学目的。

三、教学目标

知识目标:掌握数列的定义，理解并会熟练运用数列的性质解决实际问题。

能力目标:巩固求数列的通项和前n项和的方法，进一步熟练用函数方法研究数列的性质，进一步培养学生化归意识和转化的能力

情感目标:在和谐的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情景。

四、重点难点

重点：数列的定义及其性质的运用。

难点：数列通项公式的求解和求和。

五、教法设计与学法指导

教法设计：通过复习、练习、归纳总结的教学程序，采用引导发现、探索讨论、老师点评的授课方式，培养学生的学习能力和分析与解决问题的能力，借助幻灯片，几何画板辅助教学，达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学氛围. 学法指导：1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．

六、教学过程

【主干知识梳理】

S1，n＝1，1．an与Sn的关系：Sn＝a1＋a2＋…＋an，an＝

Sn－Sn－1，n≥2.

2．等差数列和等比数列

定义

通项公式

等差数列

an－an－1＝常数(n≥2)

an＝a1＋(n－1)d (1)定义法

(2)等差中项公式法：2an＋1＝an＋

an＋2(n≥1)

{an}为等差数列

(3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q等比数列

an＝常数(n≥2) an－1an＝a1qn1(q≠0) －(1)定义法

(2)等比中项公式法：a2

n＋1＝an·an＋2(n≥1)(an≠0)

{an}为等比数列

(3)通项公式法：

an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)

{an}为等比数列

(4){an}为等差数列

{aan}为等比数列(a>0且a≠1) 判定方法

为常数)

{an}为等差数列

(4)前n项和公式法：Sn＝An＋Bn(A、B为常数)

{an}为等差数列

(5){an}为等比数列，an>0

{logaan}为等差数列

2(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n(1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq 性质

(2)an＝am＋(n－m)d (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列

na1＋annn－1Sn＝＝na1＋d 22＝p＋q，则am·an＝ap·aq (2)an＝amqn－m (3)等比数列依次每n项和(Sn≠0)仍成等比数列

a11－qna1－anq(1)q≠1，Sn＝＝

1－q1－q(2)q＝1，Sn＝na1

前n项和

【设计意图】要求学生准确记忆数列的基本概念和公式以及性质

题型一

等差（等比）数列的公差（公比）

1.(2017北京理10)若等差数列an和等比数列bn满足a1b1–1，a4b48，则a2_______. b22.（2017全国1理4）记Sn为等差数列an的前n项和．若a4a524，S648，则{an}的公差为（

）. A．1

B．2

C．4

D．8 3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，

红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（

）. A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

【规律总结】在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．

【易错提醒】1.计算容易出错

2.弄清楚已知和未知量

题型二

数列通项公式和判断或证明数列是等差、等比数列

4.（2017山东理19）已知xn是各项均为正数的等比数列，且x1x23，x3x22，

求数列xn的通项公式；

15. 已知数列{an}前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．求数列{an}的通项公2式；

6 ．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式；

5(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn＋}是等比数列．

4(1)解

设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15. 解得a＝5. 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，

解得d＝2或d＝－13(舍去)．

故{bn}的第3项为5，公比为2. 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，

5解得b1＝. 45n－1－－所以bn＝b1·qn1＝·2＝5·2n3，

4即数列{bn}的通项公式bn＝5·2n3. －(2)证明

由(1)得数列{bn}的前n项和

51－2n45－Sn＝＝5·2n2－，

41－25－即Sn＋＝5·2n2. 45Sn＋1＋－45·2n155所以S1＋＝，＝n－2＝2. 4255·2Sn＋455因此{Sn＋}是以为首项，2为公比的等比数列．

42【规律总结】1.求通项如果已知是等差或则等比比较容易，首项和公差（比）求出来即S1，n＝1，可。如果已知an和sn之间的关系应用关系式an＝。

Sn－Sn－1，n≥2

2.求证一个数列是等差或则等比数列直接利用定义可得。

【易错提醒】一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．

题型三

等差、等比数列的性质及其应用

7.（2017江苏09）等比数列an的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S37，4S663，则a8

．

4【规律总结】这类题型比较简单

【易错提醒】一定要注意计算不要出错

题型四

数列的求和

8.（2017天津理18）已知{an}为等差数列，前n项和为SnnN，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4. （1）求{an}和{bn}的通项公式；

（2）求数列a2nb2n1的前n项和nN. 【规律总结】

求前n项和有公式法，裂相相消，分组求和，错位相减方法，要求学生要区分这几种方法的形式。

【易错提醒】计算量比较大易出错

解析

（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. 由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60. 又因为q0，解得q2.所以bn2n. 由b3a42a1，可得3da18

①

由S11=11b4，可得a15d16

②

联立①②，解得a11，d3，由此可得an3n2. 所以数列{an}的通项公式为an3n2，数列{bn}的通项公式为bn2n.

(2)设数列{a2nb2n1}的前n项和为Tn，

由a2n6n2，b2n124n1，有a2nb2n1(3n1)4n，

故Tn24542843(3n1)4n，

(3n4)4n(3n1)4n1，

34n(3n1)4n1

4Tn242543844上述两式相减，得3Tn2434234312(14n)4(3n1)4n1=(3n2)4n18，

14得Tn3n2n184. 33所以数列a2nb2n1的前n项和为补充：等差、等比数列的单调性

(1)等差数列的单调性

3n2n184. 33d>0⇔{an}为递增数列，Sn有最小值．

d<0⇔{an}为递减数列，Sn有最大值．

d＝0⇔{an}为常数列．

(2)等比数列的单调性

a1>0，a1<0，a1>0，a1<0，当或时，{an}为递增数列，当或时，{an}为递减数列．

q>1010

【常用结论】

Sn(1)若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，n其中m，k为常数．

2(2)若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{an}，1{}仍为等比数列．

an(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2a2－a1qa3－a2，a4－a3，…，成等比数列，且公比为＝＝q. a2－a1a2－a1(4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等比数列，其公差为qk. 等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，成等差数列，公差为k2d. a＋c(5)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列的充要2条件是b2＝ac. 七、教学后记：

现代教育理论倡导“学生主体，教师主导”这一思想，所谓主体地位，就是学习活动是在教师必要的指导下，由学生自主探索、研究，发现问题并合作研究解决问题的过程。事实上，合作讨论不仅是教育发展的需要，同时也是社会发展的需要。每一名中学生将来都要走向社会，单靠课本上已有知识难以在竞争激烈的社会环境中获得成功，科学领域中的任何一项发现或发明都离不开人的积极探索和研究，在这个社会的课堂上需要有一定的合作学习的能力。新的《数学课程标准》也明确提出：数学教学活动，要从以获取知识为首要目标转变为首先关注人的发展，教师应向学生提供充分的数学活动的机会，引导学生在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握数学知识与技能、思想和方法，获得广泛的数学活动经验。在高中数学教学中开展合作学习，发挥学生学习的主观能动性，不仅有利于学习成绩的提高，还有利于学习效率的提高，同时更有利于学生适应今后社会发展的需要。

这节课是有一定难度的复习课，从开始到结束几乎所有的教学环节，都是围绕着数列在高考中常见的集中题型这一主题展开，为了加深学生对复杂知识的理解，我采用教师引导学生合作讨论的方式授课，让学生去讨论数列各个量之间的关系这一关键问题，由学生合作讨论，共同得出结论，使学生对问题的理解更加深刻。

培养学生掌握数学的基本思想和提高学生的思维能力是设计这节课的另一

出发点。教学中充分注意引导学生参与到探索、发现、讨论、交流的学习活动中去，通过不断发现问题，并解决问题，达到学习知识和训练思维的目的。