一、圆锥曲线的光学性质及其应用优秀教学实录

圆锥曲线中的定点问题

歙县中学

姜林峰

高考定位

圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，试题难度较大，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求. 真

题

感

悟

1(2017·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px过点P(1，1)，过点0，2作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

(2)求证：A为线段BM的中点. 1(1)解

把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝x，

11焦点坐标为4，0，准线方程为x＝－4. (2)证明

当直线MN斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN(也就是直线l)斜率存在且不为零. 1由题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2). 1y＝kx＋，2得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 由y2＝x，考虑Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)，

1由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k<2. 1－k1则x1＋x2＝k2，x1x2＝4k2. 因为点P的坐标为(1，1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1).

y2x1y2直线ON的方程为y＝xx，点B的坐标为x1，x. 22y1x2＋y2x1－2x1x2y2x1因为y1＋x－2x1＝

x2211kx1＋2x2＋kx2＋2x1－2x1x2＝

x21（2k－2）x1x2＋2（x2＋x1）＝

x211－k（2k－2）×4k2＋2k2＝＝0. x2y2x1所以y1＋x＝2x1.故A为线段BM的中点. 2考

点

整

合

定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m). x2y21【例1－1】

(2017·郑州一模)椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，其左焦点到点P(2，1)的距离为10. (1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. c1(1)解

由e＝a＝2，得a＝2c，

∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，

x2y2则椭圆方程变为4c2＋3c2＝1. 又由题意知（2＋c）2＋12＝10，解得c＝1，

x2y2故a＝4，b＝3，即得椭圆的标准方程为4＋3＝1. 22(2)证明

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx＋m，联立x2y2

＋＝1，43得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

8mkx＋x＝－3＋，4k则4（m－3）x·x＝.3＋4k12221222Δ＝64m2k2－16（3＋4k2）（m2－3）＞0，①

∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) 3（m2－4k2）＝kx1x2＋mk(x1＋x2)＋m＝. 3＋4k22∵椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2，

∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，

∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，

3（m2－4k2）4（m2－3）16mk∴＋＋＋4＝0，

3＋4k23＋4k23＋4k22k∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－7. 由①，得3＋4k2－m2＞0，②

当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，

直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 2k2当m2＝－7时，l的方程为y＝kx－7，

2直线过定点7，0，且满足②，

2∴直线l过定点，定点坐标为7，0. [命题角度1]

定点的探究与证明

x2y21【例1－1】

(2017·郑州一模)椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，其左焦点到点P(2，1)的距离为10. (1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以

AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. c1(1)解

由e＝a＝2，得a＝2c，

∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，

x2y2则椭圆方程变为4c2＋3c2＝1. 又由题意知（2＋c）2＋12＝10，解得c＝1，

x2y2故a＝4，b＝3，即得椭圆的标准方程为4＋3＝1. 22(2)证明

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx＋m，联立x2y2

＋＝1，43得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，

8mkx＋x＝－3＋，4k则4（m－3）x·x＝.3＋4k1222122Δ＝64m2k2－16（3＋4k2）（m2－3）＞0，①

∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) 223（m－4k）22＝kx1x2＋mk(x1＋x2)＋m＝. 3＋4k2∵椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2，

∴(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，

∴y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，

3（m2－4k2）4（m2－3）16mk∴＋＋＋4＝0，

3＋4k23＋4k23＋4k22k∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－7. 由①，得3＋4k2－m2＞0，②

当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)，

直线过定点(2，0)，与已知矛盾. 2k2当m2＝－7时，l的方程为y＝kx－7，



2直线过定点7，0，且满足②，

2∴直线l过定点，定点坐标为7，0. 探究提高

(1)动直线l过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0).(2)动曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点. .解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：

(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.