3.4 生活中的优化问题举例优质课教案设计

课

题：导数在实际生活中的应用

教学目的：

1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题

教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题．

教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题． 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入： 1.极大值：

一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点

2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点

3.极大值与极小值统称为极值

4. 判别f(x0)是极大、极小值的方法: 若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值

5. 求可导函数f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)

(2)求方程f′(x)=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值

6.函数的最大值和最小值:在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值．⑴在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数f(x)在闭区间a,b上连续，是f(x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值

二、讲解范例：

例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？

解法一：设箱底边长为xcm，则箱高

_xh60xcm，得箱子容积

22x

x 60x2x3V(x)xh2(0x60)．

_60_

xV(x)60x3x (0x60)

22_

603x2令 V(x)60x＝0，解得 x=0（舍去），x=40，

并求得 V(40)=16 000 2由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值

答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm

解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积

（后面同解法一，略）

V(x)(602x)2x(0x30)．由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．

60360-2xx60-2x60-2x60-2xx6060x2x3事实上，可导函数V(x)xh、V(x)(602x)2x在各自的定义域中都只有一22个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值

例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？

解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积

2S=2πRh+2πR

V，则

R2V22V2S(R)= 2πR+ 2πR=+2πR

2RR2V令

s(R)2+4πR=0 R由V=πRh，得h2

解得，R=3VV，从而h==2R2V4VV=3=23

V2(3)2即

h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值

答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最S2R2省？

提示：S=2Rh+2Rh=

2R211S2R2R2=(S2R2)RSRR3 V(R)=222RV'(R))=0S6R2

6R22Rh2R2h2R．

例3在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数同，记为C(x)，出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x)。

（1）、如果C(x)＝10x0.003x5x1000，那么生产多少单位产品时，边际C(x)最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量) （2）、如果C(x)=50x＋10000，产品的单价P＝100－0.01x，那么怎样定价，可使利润最大？

变式：已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为6321p25q．求产量q为何值时，利润L最大？

8分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．

解：收入Rqpq25q25qq，

1818222利润LRC25qq(1004q)q21q100(0q100)

181811Lq21令L0，即q210，求得唯一的极值点q84

44答：产量为84时，利润L最大

三、课堂练习：

1.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________. 2.函数f(x)=sin2x－x在［－,］上的最大值为_____；最小值为_______. 223.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.

x2y24.使内接椭圆22=1的矩形面积最大，矩形的长为_____，宽为_____. ab5.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大

答案：1. －15

2.四、小结

：

aa

－

3.

4.2a

222232b

5.R

2⑴解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．

⑵根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．

⑶相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单

五、课后作业：

1.有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多少？

解：（1）正方形边长为x,则V=（8－2x)·(5－2x)x=2(2x3－13x2+20x)(0

根据实际情况，小盒容积最大是存在的，

2∴当x=1时，容积V取最大值为18.

2.一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.

解：由梯形面积公式，得S=13

(AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b

23AhBbC600ED123323∴AD=h+b, ∴S=(h2b)h(hb)h

①

2333h22h,AB=CD.∴l=h×2+b

∵CD=cos3033由①得b=②

43S3SS3hh3h

h,代入②,∴l=3h3hh3SSSS=0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0. 444h2333

l′=3243SS∴h=4时，l取最小值，此时b=33