一、圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计与反思

教学设计

高三数学组

朱珍佳

圆锥曲线的综合问题

最新考纲

1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.

知

识

梳

理

1.直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，

Ax＋By＋C＝0，即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. F（x，y）＝0(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离. (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2

＝11＋k2·|y1－y2|＝11＋k2·（y1＋y2）2－4y1y2. 第1课时

直线与圆锥曲线

考点突破

考点一

直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2【例1】

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左焦点

为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程. 解

(1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，

又点P(0，1)在曲线C1上，

01∴a2＋b2＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，

x22所以椭圆C1的方程为2＋y＝1. (2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，

x22＋y＝1，由2消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. y＝kx＋m因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0. 整理得2k2－m2＋1＝0.①

2y＝4x，由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0. y＝kx＋m因为直线l与抛物线C2相切，

所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②

k＝22，k＝－22，综合①②，解得或

m＝2m＝－2. 22所以直线l的方程为y＝2x＋2或y＝－2x－2. 规律方法

研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解. x22【训练1】

经过椭圆2＋y＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于→·OB→等于(

) A，B两点，设O为坐标原点，则OA

A.－3

1C.－3或－3

1B.－3

1D.±3

解析

依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y－0＝tan 45°x22(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程2＋y＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0441→·OB→＝－1，同理，或x＝3，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，3，3，∴OA3→·OB→＝－1. 直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA3答案

B

考点二

弦长问题

x2y21【例2】

已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)经过点(0，3)，离心率为2，左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程；

1(2)若直线l：y＝－2x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为|AB|53直径的圆交于C，D两点，且满足|CD|＝4，求直线l的方程. b＝3，c1(1)由题设知＝，解得a＝2，b＝a2b2＝a2－c2，解

3，c＝1，

x2y2∴椭圆的方程为4＋3＝1. (2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，

∴圆心到直线l的距离d＝∴|CD|＝21－d＝222|m|5，由d＜1，得|m|＜2.(*) 54221－5m＝5－4m2. 5设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

1y＝－2x＋m，由22得x2－mx＋m2－3＝0，

xy4＋3＝1，由根与系数关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. ∴|AB|＝1221＋－[m－4（m2－3）] 215＝24－m2. |AB|53由|CD|＝4，得4－m232＝1，解得m＝±，满足(*). 35－4m∴直规律方法

有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：

涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. 1313线l的方程为y＝－2x＋3或y＝－2x－3. 【训练2】已知抛物线y＝ax2(a＞0)的焦点到准线的距离为2，则直线y＝x＋1截抛物线所得的弦长等于________. 11解析

由题设知p＝2a＝2，∴a＝4.

1抛物线方程为y＝4x2，焦点为F(0，1)，准线为y＝－1.

1y＝x2，联立4消去x，

y＝x＋1，整理得y2－6y＋1＝0，∴y1＋y2＝6，∵直线过焦点F，

∴所得弦|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋1＋y2＋1＝8. 答案

8

考点三

中点弦问题

x2y2【例3】

(1)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(

)

x2y2A.45＋36＝1

x2y2C.27＋18＝1

x2y2B.36＋27＝1 x2y2D.18＋9＝1 解析

(1)因为直线AB过点F(3，0)和点(1，－1)，

21x2y2a所以直线AB的方程为y＝2(x－3)，代入椭圆方程a2＋b2＝1消去y，得4＋b2x239－2a2x＋4a2－a2b2＝0，

322a所以AB的中点的横坐标为a2＝1，即a2＝2b2，

24＋b2又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝32，选D.

答案

(1)D

规律方法

处理中点弦问题常用的求解方法

(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式y1－y2中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，x1－x2借用中点公式即可求得斜率.

(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解. x2y2【训练3】

8.过椭圆16＋4＝1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________. 解析

设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

由于A，B两点均在椭圆上，

x2y2x2y21122故16＋4＝1，16＋4＝1，

两式相减得

（x1＋x2）（x1－x2）（y1＋y2）（y1－y2）＋＝0.

164又∵P是A，B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，

∴kAB＝y1－y23＝－4.

x1－x23∴直线AB的方程为y－1＝－4(x－3).

即3x＋4y－13＝0. 答案

3x＋4y－13＝0

[思想方法] 1.有关弦的三个问题

(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解. 2.求解与弦有关问题的两种方法

(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系. (2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数. [易错防范] 判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点

(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点. (2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点. 布置作业：

对应课时作业本

板书设计：

教后小记：