3.1.2 导数的概念课堂实录【2】

导数的概念

古蔺县蔺阳中学 刘族均

教学日期：2018年2月

科目：数学

课时：1课时

教学目标

知识目标：通过实际问题理解瞬时速度，并理解函数的增量与自变量的增量的比当x0的具体意义。同时还要理解导数的概念并会运用概念求导数

能力目标：培养学生会从实际问题中抽象出数学模型，运用数学去思考一些实际问题。了解导数概念的实际背景，理解瞬时变化率就是导数这一本质

情感态度与价值观：培养学生思考问题的广度深度，让学生学会在更广阔的空间中思考问题。同时培养学生相互之间的合作能力，培养学生的创新精神

教学重点：理解瞬时速度，以及掌握导数的概念及求法。

教学难点：引导学生运用逼近的思想去思考问题,从一些实际问题中抽象出导数的概念，理解极限的数学思想。

教学方法：自学指导法及合作探究

教学过程：

一

创设情景

从每年高考情况看，导数是每年高考必考的内容，而这个知识点比较困难，它也很重要，那么什么是导数呢？本节课我们一

1

起来探究导数的概念。

通过第一节的学习，我们一起来回忆一下平均变化率是怎么求的？

问题1：平均变化率怎么算？（2步：一差，二比）

yf(x2)f(x1)（一）平均变化率x

x2x1（二）探究：

在高台跳水运动中,平均速度不能反映他（她）在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 问题2：如何求瞬时速度呢? 思考：t=2时的瞬时速度怎么求？

二

新课讲授

1．瞬时速度

在高台跳水运动中,运动员在不同时刻的速度是不同的.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度..运动员的平均速度不一定能反映他她在某时刻的瞬时速度.那么,如何求运动员的瞬时速度呢?比如,t2时的瞬时速度是多少?

我们先考察t2附近的情况.在t2之前或之后,任意取一个时刻2t,t是时间的改变量,可以是正值,也可以是负值,但不为0.当t0时,2t在2之前;当t0时,2t在2之后.计算区间2t,2和区间2,2t内平均速度v,可以得到如下表格.

2

观察：当t0平均速度有怎样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1t0t为了表述方便，我们用表示“当t2，tlim趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

问题3：一般函数的瞬时变化率如何求?

2．

导数的概念

一般地，函数

y = f (x) 在xx0处的瞬时变化率是

f(x0x)f(x0)ylimlim

x0xx0x称为函数y = f (x)

在xx0处的导数，记作

f(x0)

3

f(x0Δx)f(x0) |

x



x0

即

f

(或

y

x

0

)



lim

.

x0

x

注：

1.f(x0)与x0的值有关

2.f(x0)与x的具体取值无关。

3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。

4．x可正，可负不能为0 ，而y可为0 由导数的定义可知, 求函数

y = f (x)的导数的一般方法: 1. 求函数的增量：



y



f

(

x

0





x

)



f

(

x

0

);

f

(x

f(x2. 求平均变化率：



y



0





x

)

0

)

;

xxy3. 求值：

f

(

x

0

)



lim

.

x0x

一差、二比、三极限

三

例题分析

例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

（2）求函数f(x)=x2x在x1附近的平均变化率，

并求出在该点处的导数．

2解：（1）

Δf= f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)

f6x

xf6

x0xlimy(1x)2(1x)23x

解：（2）xx

4

y(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为f(x)x27x15(0x8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

根据导数定义，f(2x)f(x0)f

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

x所以f(2)limflim(x3)3

x0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

注：一般地，f'(x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况．

变式练习：

1．

求曲线y=f(x)=x3在x1时的导数．

2.

函数

f

(

x

)



x

在x=1处的导数

1f(x)3.

函数



x

在x=4处的导数

x

5

四

小结

（1）平均变化率

瞬时变化率导数概念

（2）由导数的定义可得求导数的一般步骤：

①求函数的增量yf(x0x)f(x0)

②求平均变化率

③求极限

五

作业

1.

P10

'yf(x0)limx0xyx

A组

第2题

2. （选做）P11

B组

第1题

思考

yx在x0处的导数

板书设计

平均变化率

例题分析

瞬时速度

小结

导数的概念

作业

6