3.1.2 导数的概念主要内容及教案内容

导数的概念

教学目标

1.了解导数概念的实际背景；

2.知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．

本节重点：瞬时变化率、导数的概念．

本节难点：导数的概念的理解．

讲授新课

1．瞬时变化率、瞬时速度

物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．

2．一般地，如果物体的运动规律是s＝s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt

Δs→0时平均速度的极限，即v＝lim

Δt为tΔt→0时刻的瞬时速度．

3．导数的概念

对导数的定义要注意两点：第一：Δx是自变量x在x0处的改变量，所以Δx可正可负，但Δx≠0；第二：函数在某点的导数，就是函数在该点的瞬时变化率，即函数在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限值．因此它是一个常数而不是变数．

自主预习

1.一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变

化率是

Δx→0lim

fx0＋Δx－fx0

Δx

Δy＝lim

Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝Δx→0x0处的导数，记作f

′(x0)或y′|x＝x0，即f

′(x0)＝

fx0＋Δx－fx0lim

ΔxΔx→0

. 2．求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤：

(1)求函数的增量f(x0＋Δx)－f(x0)

Δy＝

；

Δy(2)求平均变化率Δx＝

fx0＋Δx－fx0

Δx

；

(3)取极限，得导数f

′(x0)＝

Δylim

Δx

Δx→0

. 上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限．

典例剖析

题目类型一、利用定义求函数在某点处的导数

2[例1]

根据导数定义求函数y＝x＋1＋5在x＝2处的导数．

x

[解析]

当x＝2时，Δy＝(2＋Δx)＋2112＋5－2＋2＋5＝4Δx＋(Δx)＋2＋Δx2－Δx，

22＋ΔxΔy1所以Δx＝4＋Δx－，

4＋2Δx所以y′|x14＋Δx－4＋2Δx

＝2Δy＝lim

Δx＝lim

Δx→0Δx→01＝4＋0－

4＋2×015＝4. [点评]

用导数定义求函数在某一点

处的导数的过程：一差、二比、三极限．

变式练习

求y＝f(x)＝x＋2x＋1在x＝1处的导数．

[解析]

Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)＋2(1＋Δx)＋1－(1＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)＋(Δx)，

Δy5Δx＋3Δx＋Δx＝＝5＋3Δx＋ΔxΔx(Δx)，

Δyf

′(1)＝lim

Δx＝lim[5＋3Δx＋Δx→0Δx→0(Δx)]＝5. 题目类型二、导数概念的理解

[例2]

设f(x)在x0处可导，求lim

Δx→0

333232322

fx0－Δx－fx0的值．

Δx[辨析]

函数值f(x0－Δx)－f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0－Δx)－x0＝－Δx. [解析]

∵f(x)在x0可导，

fx0－Δx－fx0∴lim

ΔxΔx→0fx0－Δx－fx0＝－lim

－Δx－Δx→0＝－f

′(x0)．

达标练习

1．已知f(x)＝x－3x，则f

′(0)＝(

) A．Δx－3

2B．(Δx)－3Δx

2

C．－3

[解析]

2D．0 f

2′(0)＝lim

Δx→00＋Δx－30＋Δx－0＋3×0

ΔxΔx－3Δx＝lim

＝lim

(Δx－3)＝－3.ΔxΔx→0Δx→0故选C. 2．已知函数f(x)＝ax＋4，若f

′(1)＝2，则a等于______．

[答案]

a＝2

[解析]

Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)＋4－a－4＝aΔx，

ΔyΔy＝a，∴lim

＝a，∴f

′(1)＝aΔxΔx→0Δx

2

＝2.