习题2.1优质课教案整理

2.1.2求曲线的方程习题课（一）

教学设计

一、教学目标

(一)知识要求

使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用方法-----直接法和定义法．

(二)能力要求

通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用数学知识的能力．

二、教材分析

1.重点：求动点的轨迹方程的常用方法-----直接法和定义法．

2.难点：定义法求动点的轨迹．

教学设想：激发学生的求知欲望和学习热情，培养学生严谨的学习态度和积极进取的精神．

三、教学过程

(一)复习引入

大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：

(1)根据已知条件，求曲线的方程；

(2)通过方程，研究曲线的性质．

我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常用方法．

(二)几种常见求轨迹方程的方法

1.直接法

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件（或等量关系）列出等式，再用坐标表示，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．这是高考考查的重点。

2.直接法求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合p{M|p(M)}；

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)0；

(4)化方程f(x,y)0为最简形式；

1

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

例1.已知点O(0,0),A(1,2)，动点P满足|PA|3|PO|，则P点的轨迹方程是

(

) A．8x28y22x4y50

C．8x28y22x4y50

B．8x28y22x4y50

D．8x28y22x4y50

2222解析：设P点的坐标为(x,y)，则(x1)(y2)3xy，

整理得8x28y22x4y50．故选A

uuuruuuruuuruuur2.设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且MN2MP,PMPF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．

解：设M(x,0),P(0,y),N(x,y)，

uuuruuur由MN2MP，得(xx,y)2(x,y)，

xxxx2x所以，解得1

yyy2y2uuuruuuruuuruuur因为PMPF，

PM(x,y),PF(1,y)，

所以(x,y)(1,y)0，

y2即xy20，所以x()0，即y24x．

2跟踪练习1.已知M(2,0),N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为

A．x2y22

C．x2y22(x2)

(

) B．x2y24

D．x2y24(x2)

跟踪练***面直角坐标系xOy中，点P(a,b)为动点，F1,F2为椭圆x2y21(ab0)的左，右焦点.已知F1PF2为等腰三角形. a2b2(1)求椭圆的离心率；

uuuruuur(2)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点，满足AMBM2，求点M的轨迹方程. 反思归纳-----直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略

(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．

(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．但要注意完备性易忽视．

2

2.定义法

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

ABC的内切圆圆心在直线x3上，例2.(1)ABC的顶点A(5,0),B(5,0)，则顶点C的轨迹方程是________________．

解析：Q|AD||AE|8,|BF||EE|2,|CD||CF|，

|CA||CB|826|AB|，

于是顶点C的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支，

x2y21(x3)。

又a3,c5，bca16，所以方程为916222(2)已知圆M:(x1)2y21，圆N:(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为________________．

解析：设圆M，圆N与动圆P的半径分别为r1,r2,R．

因为圆P与圆M外切且与圆N内切，所以|PM|Rr1,|PN|r2R，

|PM||PN|(Rr1)(r2R)r1r24，

由椭圆的定义可知，曲线C是以M,N为左右焦点，

x2y21(x2)．

又a2,c1，bac3，其方程为43222ABC的内切圆切BC于点D，|BC|4，跟踪训练1.在ABC中，且|BD||CD|22求顶点A的轨迹方程。

3

2.已知曲线C上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y3

的距离小2，则曲线C的方程为________．

反思归纳------定义法求曲线方程的2种策略

(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．

(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是何形式的情况，利用条件把待定系数求出来，使问题得以求解。

(三)巩固练习

用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．

1.ABC的两个端点是B(0,6)和C(0,6)，另两边斜率的积是4，求顶点A的轨迹。

92.点P与一定点F(2,0)的距离和它到一定直线x8的距离的比是1:2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

(四)、教学反思

求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法。

五、板书设计

求曲线的轨迹方程（一）

（一）引入

（三）巩固练习

（二）求轨迹方程的方法（一）

（四）教学反思

直接法-----例1 定义法-----例2

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