3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则优秀教学设计

导数的计算学案

►基础梳理

1．基本初等函数的导数公式．

(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝0；

n*n－1(2)若f(x)＝x(n∈Q)，则f′(x)＝nx；

(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos_x；

(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin_x；

xx(5)若f(x)＝a，则f′(x)＝aln_a(a＞0且a≠1)；

xx(6)若f(x)＝e，则f′(x)＝e；

1(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝(a＞0，且a≠1)；

xln a1(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝．

x2．导数运算法则．

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

f（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g(x)≠0]．,►自测自评

(3)2[g（x）]g（x）1．下列各式中正确的是(C) A．(sin a)′＝cos a(a为常数) B．(cos x)′＝sin x

C．(sin x)′＝cos x

1－6－5D．(x)′＝－x

522．函数y＝x的导数是2x．

113．已知函数f(x)＝，则f′(－3)等于－．

x91解析：∵f′(x)＝－2，

x11∴f′(－3)＝－2＝－. （－3）9

πx1．已知f(x)＝ecos x，则f′的值为(C) 2ππA．e B．－e

πC．－e2 D．以上均不对

2．曲线y＝xx＋1在x＝－2处的切线方程为(B) A．x＋y＋4＝0 B．x－y＋4＝0 C．x－y＝0 D．x－y－4＝0

解析：y′＝1x′＝x＋1－x＝22，

（x＋1）（x＋1）x＋112＝1，

（－2＋1）－2y＝＝2，故切点坐标为(－2，2)．

－2＋1切线方程为x－y＋4＝0，故选B. 323．已知物体的运动方程为s＝t＋＋1n t－1(t是时间，s是位移)，则物体在时刻tk＝t＝3时的速度为________．

31解析：∵s′(t)＝2t－2＋，∴s′(3)＝6. tt答案：6 cos x4．已知函数y＝. x(1)求函数的导数；

(2)求函数在x＝π处的切线方程．

cos x′＝（cos x）′·x－cosx·x′

解析：(1)y′＝2xx＝－xsin x－cos x. 2x－πsinπ－cos π1(2)y′|x＝π＝＝2，

2ππcos π1又当x＝π时，y＝＝－，

ππ11∴切线方程为y＋＝2(x－π)，

ππ2即x－πy－2π＝0. 25．(1)已知函数f(x)＝x(x－1)，当x＝x0时，有f′(x0)＝f(x0)，求x0；

x1(2)已知f＝，求f(x)的导数f′(x)．

x2－x＋x2解析：(1)直接求导后，代入已知，即可得方程，解方程得到x0＝0，或x0＝2±2；

(2)先用换元法求出22f(x)＝x，于是得到，f′(x)＝2x－x＋12（x）′（2x－x＋1）－x（2x－x＋1）′＝

22（2x－x＋1）21－2x22. （2x－x＋1）

11．函数y＝的导数y′＝(D) x1 B．－

2xx2x11C. D．－

2x2xx32．曲线y＝x－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为(B) A．30° B．45° C．60° D．120°

2解析：本题主要考查了导数的几何意义及求导数，y′＝3x－2，∴k＝1，∴倾斜角为45°. A.1

3．曲线y＝x＋3x＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是(A) A．3x－y－11＝0 B．3x－y－17＝0 C．3x＋y－17＝0 D．3x＋y－11＝0 22解析：求导得斜率为k＝y′＝3x＋6x＋6＝3(x＋1)＋3≥3，所以kmin＝3，相应地，x＝－1，y＝－14. 从而得切线方程是3x－y－11＝0. 34．曲线y＝x在点(1，1)处切线与x轴及直线x＝1所围成的三角形的面积为(B) 1111A. B. C. D.

12632解析：本题主要考查导数的几何意义．

3曲线y＝x在点(1，1)处切线的斜率为：

k＝y′|x＝1＝3. 利用点斜式可求得切线方程为：3x－y－2＝0. 111结合图象，可知所求三角形面积为：××1＝. 23625．若曲线y＝x＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则(A) A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 解析：∵y′＝2x＋a|x＝0＝a，∴a＝1. (0，b)在切线x－y＋1＝0，∴b＝1. 236．已知点P在曲线y＝x－x＋上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则α的取值范3围是(D) ππ3πA.0， B.，

2423π，π D.0，π∪3π，π

C.24422解析：∵y′＝3x－1≥－1.∴tan α＝3x－1≥－1，

π3π∴a∈0，∪，π. 247．已知函数f(x)＝32x，x＞0，f′(1)f(0)＝________．

cosx，x≤0，，

2x1解析：当x＞0时，f′(x)＝1故f′(1)f(0)＝. 21答案：

2x8．在同一平面直角坐标系中，已知函数y＝f(x)的图象与y＝e的图象关于直线y＝x对称，则函数y＝f(x)的解析式为__________；其对应的曲线在点(e，f(e))处的切线方程为________．

11解析：依题意知f(x)＝lnx，f′(x)＝，故所求的切线方程为：y＝x. xe1答案：f(x)＝ln x

y＝x

eππ9．已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________．

24π解析：∵f′(x)＝f′cos x－sin x，

2

ππππ∴f′＝f′cos－sin，

2222π即f′＝－1，∴f(x)＝－sin x＋cos x，

2πππ∴f＝cos－sin＝0. 444答案：0 10．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn(x)＝f′nπ＋fπ＋…＋fπ＝________．

*－1(x)(n∈N，n≥2)，则f1222 01122解析：f2(x)＝f′1(x)＝cos x－sin x；

f3(x)＝f′2(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x；

f4(x)＝f′3(x)＝(－sin x－cos x)′＝－cos x＋sin x；

f5(x)＝f′4(x)＝(－cos x＋sin x)′＝sin x＋cos x；

依次类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，

ππππ又∵f1＋f2＋f3＋f4＝0，

2222πππππππππ∴f1＋f2＋…＋f2 011＝f1＋f2＋f3＝f2＝－sin＋cos＝222222222－1. 答案：－1 111．在曲线y＝(x＜0)上求一点P，使P到直线x＋2y－4＝0的距离最小．

x1分析：把直线x＋2y－4＝0平行移动，当与曲线y＝(x＜0)相切时，切点即为所求．

x1解析：由题意知，平行于直线x＋2y－4＝0与y＝(x＜0)相切的切点即为所求．

x1设切点P(x0，y0)，由y′＝－2，得

xk＝y′|x＝x0＝－2，

x01又x＋2y－4＝0的斜率为－，

211∴－2＝－，∴x0＝2，或x0＝－2，

x02∵x＜0，∴x0＝－2，y0＝－∴P－2，－12＝－2，

212为所求．

243212．偶函数f(x)＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P(0，1)，在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

解析：∵f(x)的图象过点P(0，1)，∴e＝1. 432432又f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ax＋bx＋cx＋dx＋e＝ax－bx＋cx－dx＋e. ∴b＝0，d＝0. 42∴f(x)＝ax＋cx＋1. ∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

∴可得切点为(1，－1)．

∴a＋c＋1＝－1.①

3∵f′(x)＝4ax＋2cx，∴f′(1)＝4a＋2c. 

∴4a＋2c＝1.②

59由①②得a＝，c＝－. 225492∴f(x)＝x－x＋1. 22►体验高考

bx－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．

bb72解析：y＝ax＋的导数为y′＝2ax－2，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－. xx2b4a＋＝－5，2a＝－1，由题意得解得则a＋b＝－3. b7b＝－2，4a－＝－，21．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax＋(a，b为常数)过点P(2，42答案：－3 α2．(2013·江西卷)若曲线y＝x＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝________．

α－1解析：因为y′＝α·x，所以在点(1，2)处的切线斜率k＝α，则切线方程为y－2＝α(x－1)．又切线过原点，故0－2＝α(0－1)，解得α＝2. 答案：2 323．已知函数f(x)＝x＋(1－a)x－a(a＋2)x＋b

(a，b∈R)．若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，则a＝________，b＝________．

解析：由函数f(x)的图象过原点，得b＝0，

2又f′(x)＝3x＋2(1－a)x－a(a＋2)，

f(x)在原点处的切线斜率是－3，

则－a(a＋2)＝－3，

所以a＝－3，或a＝1. 答案：－3或1 0 4．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝(B) 2A．e B．e ln 2C. D．ln 2 2解析：∵f(x)＝xln x，

1∴f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1. x∴由f′(x0)＝2得ln x0＋1＝2，

∴x0＝e，故选B. 5．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程为________________．

解析：∵y＝x(3ln x＋1)，

3∴y′＝3ln x＋1＋x·＝3ln x＋4，

x∴k＝y′|x＝1＝4，∴所求切线的方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案：y＝4x－3 16．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a>0)．

ax(1)求f(x)的最小值；

3(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

2

1解析：(1)f(x)＝ax＋＋b≥2axax·＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1，即ax1

x＝时，a1f(x)的最小值为b＋2. 313(2)由题意得：f(1)＝⇔a＋＋b＝，①

2a2113f′(x)＝a－2⇒f′(1)＝a－＝，②

axa2由①②得：a＝2，b＝－1.