1.1.3 四种命题间的相互关系教学设计第二课时

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG §1.1.2 四种命题及其关系

【学习目的】

1.认识四种命题的结构形式，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题；

2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系；

3．会利用命题的等价性解决问题．

【要点梳理】

1．四种命题

互逆命题：原命题为“若p则q”，逆命题为“______________________”．

互否命题：原命题为“若p则q”，否命题为“______________________”．

互为逆否命题：原命题为“若p则q”，逆否命题为“______________________”．

2．四种命题间的相互关系

3．四种命题真假性之间的关系

(1)互为逆否命题的两个命题有

相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性

没关系

.

【特别提醒】

从四种命题的相互关系看命题的真假，利用等价命题证明一些结论可以锻炼思维的灵活性．

◇课内探究◇

问题探究一

四种命题

问题1

给出下列四个命题：

(1)同位角相等，两直线平行；(2)两直线平行，同位角相等；

(3)同位角不相等，两直线不平行；(4)两直线不平行，同位角不相等．

请你说出这些命题中命题(1)与其它命题的条件和结论之间的关系．

答案

命题(1)和命题(2)的条件、结论互换；命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．

问题2

如果一个命题的形式是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题分别是什么形式？

答案

逆命题：若q，则p

否命题：若¬p，则¬q

逆否命题：若¬q，则¬p 问题3

一般地，一个命题的逆命题和否命题是什么关系？

答案

互为逆否．设原命题为“若p，则q”，则其逆命题为：“若q，则p”，否命题为“若￢p，则￢q”，根据逆否命题的定义可知两个命题互为逆否．

问题4

一个命题的逆命题和逆否命题、否命题和逆否命题分别是什么关系？

答案

一个命题的逆命题和逆否命题是互否命题，否命题和逆否命题是互逆命题．

例1

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

2(1) 如果x>10，那么x>0；(2) 若ac<0，则ax＋bx＋c＝0有两个相异实根.

答案：（2）逆命题：若ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0，为假命题；

否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R)至多有一个实根，为假命题；

逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c∈R)至多有一个实根，则ac≥0，为真命题．

跟踪训练1

把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

2(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x＋x－6＝0.

例2

下列命题：①

若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②

正方形的四条边相等；③

若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有__②和③ ______；互为否命题的有____①和③

____；互为逆否命题的有___①和②_____．(填序号)

跟踪训练2

若命题A的逆命题为B，命题A的否命题为C，则B是C的

(

C

) A．逆命题

B．否命题

C．逆否命题

D．以上都不对

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 问题探究二

四种命题的真假关系

问题1

写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断真假．

(1)同位角相等，两直线平行；(2)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

问题2

如果一个命题是真命题，那么它的逆命题一定是真命题吗？否命题呢？逆否命题呢？

答案

不一定．再如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，否命题是“如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等”，均为假命题．

问题3

四种命题中，真命题的个数可能为多少？

答案

四种命题中，真命题的个数可能为0,2,4. 原命题和逆否命题真假性相同，逆命题和否命题真假性相同．

例3

判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(2)若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．

解

(1)原命题是真命题．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，真命题．

否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，真命题．

逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，真命题．

(2)原命题是真命题．

逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q<1，假命题．

否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．

逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则有q≥1，真命题．

小结

判断四种命题的真假，要利用已有知识进行严格的推理论证．四种命题中，真命题一定有偶数个．

跟踪训练3

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．

(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根；

(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0. 解

(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，

则m·n<0，假命题．

否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，

则m·n≥0，真命题．

（2）逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．

否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．

逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．

问题探究三

等价命题及其应用

问题1

四种命题中，哪些命题的真假性相同？

答案

四种命题中，原命题与逆否命题的真假性相同；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题，真假性相同，真假性相同的命题也称为等价命题．

问题2

要判断一个命题的真假，除直接判断外，还有什么方法？

答案

要判断一个命题的真假，可以写出它的逆否命题，判断逆否命题的真假，从而得到原命题的真假．

例4

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

解

方法一

原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，

则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断真假如下：

抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上．

判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．

所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．

故原命题的逆否命题为真．

方法二

先判断原命题的真假．

因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG 77解得a≥.因为a≥，所以a≥1，所以原命题为真．

44又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．

方法三

利用集合的包含关系求解．

命题p：关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．

命题q：a≥1.

所以p：A＝{a|关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有实数解} 7＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝{a|a≥}．

4q：B＝{a|a≥1}．

因为A⊆B，所以“若p，则q”为真．

所以“若p，则q”的逆否命题“若￢q，则￢p”为真．

即原命题的逆否命题为真．

小结

命题的真假可以利用已有知识直接判断；也可以利用等价命题，判断其逆否命题的真假；对于和不等式解集有关的问题，也可以利用集合间的关系判断．

◆课堂练习

1．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是B奇函数”的否命题是

(

B

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

2．下列命题中正确的是

(

B

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；

④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③④

B．①③④

C．②③④

D．①④

解析

①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．

②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题．

③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．

∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<0，

1∴m<－≤0.真命题．

4④原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．

∵x不是无理数，∴x是有理数．

又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数．真命题．

故正确的命题为①③④，故选B. 3．命题“若￢p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是

(

C

) A．若p，则￢q

B．若q，则￢p

C．若￢q，则p

D．若￢q，则￢p

4．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是

(

D

) A．若a∉M，则b∉M

B．若b∉M，则a∈M

C．若a∉M，则b∈M

D．若b∈M，则a∉M

5．以下说法错误的是

(

B

) A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必定为真命题

B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定是真命题

C．原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数

D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题

◆课堂小结

1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

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选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．原命题的逆命题和否命题是互为逆否命题，逆命题和逆否命题是互否命题，否命题和逆否命题是互逆命题．

3．原命题和逆否命题的真假性相同；原命题和它的逆命题、否命题的真假性没有关系．

4．利用等价命题可以判断一个命题的真假．

◇课后作业◇

1．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为

(

) A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角

B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角

C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角

D．△ABC中，若∠A、∠B不都是锐角，则∠C≠90°

2．命题“若p，则q”的逆否命题是

(

) A．若p，则q

B．若p，则q

C．若q，则p

D．若q，则p 3．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题为r，则q是r的

(

) A．逆命题

B．否命题

C．逆否命题

D．没有关系

4．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是

(

) A．3

B．2

C．1

D．0 5．已知下列四个命题，其中是真命题的有

(

) ①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若k≤－2，则方程x2－2kx＋k2＋k＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．

A．①②③

B．②③ C．①③

D．②④

6．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是

(

) A．4

B．3

C．2

D．1 7．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是

(

) A．若A∪B＝B，则A∩B＝A

B．若A∪B≠B，则A∩B≠A

C．若A∩B≠A，则A∪B≠B

D．若A∪B≠B，则A∩B＝A 8．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是____________，逆否命题是______________．

9．下列命题是假命题的有________．(填序号) ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；

③“若x≤－3，则x2＋x－6>0”的否命题．

10．下列四个命题中：

①“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题；

②“若k<0，则方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；

③“全等三角形的面积相等”的否命题；

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

选修2-1学案

第一章

常用逻辑用语

LIKUNLIANG ④“若ab≠0，则a≠0”的否命题．

其中真命题的个数是________．

11.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

12．是否存在实数a，使下列方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数根？若存在，试求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

答案：

1、B 2、C 3、B 4、C 5、C 6、C 7、B 8、若a>0，则a>1

若a≤0，则a≤1 9、②③

10、1 11、解

(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

12、a3或a1

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