小结教学实录

松桃县高中数学示范课

地点：松桃智华（第六）中学

2.1.2椭圆的简单几何性质（1）

教案

执教人：松桃智华（第六）中学

覃建妹

教材：

人民教育出版社

选修1—1

【教学目标】

(1).使学生掌握椭圆的几何性质（对称性，范围，顶点，离心率），能根据性质正确地作出椭圆草图；掌握椭圆中a、b、c的几何意义及相互关系；

(2) 通过对椭圆标准方程的讨论，使学生知道在解析几何中是怎样用代数方

法研究曲线性质的，逐步领会解析法（坐标法）的思想。

(3) 能利用椭圆的性质解决实际问题。

(4) 培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力。

(5)通过“嫦娥二号”探月卫星发射成功，激发学生爱国之情。

(6)培养学生既能独立思考，又能积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

【教学重点】椭圆性质的探索过程及性质的运用。

【教学难点】利用曲线方程研究椭圆性质的方法及离心率的概念。

【教学方法】发现探究式

【教学组织方式】学生独立思考、合作交流、师生共同探究相结合。

【教学工具】多媒体课件。

【教学过程】

一．创设情境

教师：请同学们看大屏幕（课件展示“嫦娥二号”探月卫星在绕地球运

行的模拟图）：

“嫦娥二号”探月卫星发射成功，这是我们中华民族的骄傲。

如果告诉你卫星飞离地球表面最近和最远的距离，即近地点距地面的距离和远地点距地面的距离，如何确定飞船运行的轨道方程？要想解决这一实际问题，就有必要对椭圆做深入的研究，这节课我们就一起探求椭圆的性质。（引出课题）

教师：前面我们学习了椭圆的定义和标准方程，谁能说说椭圆的标准方程（学y生回答）。

二．合作探索研究

bB2 [知识探究]:阅读课本P37-P39 回答以下问题：

x2y2椭圆221(a＞b＞0)的几何性质

abA1-aF1OF2A2ax-bB1

1．范围：椭圆位于直线x＝____ 和y＝____ 围成的矩形里,x ,y . 2．对称性：椭圆关于_______、_______、_______都是对称的．椭圆的对称轴是_______ ，对称中心是_______也叫做椭圆的_______。

3．顶点：上述椭圆的四个顶点坐标分别是_______、_______、_______、_______。

线段_______叫做椭圆的长轴，线段_______叫做椭圆的短轴。椭圆的长半轴长是_______，短半轴长是_______ 4．离心率：椭圆的焦距与长轴长的比e= ，e的取值范围是_______ ，当e越接近于1，椭圆越 ，当e越接近于0，椭圆越_______ . 思考：

当椭圆的焦点位于Y轴是椭圆的几何性质是什么呢？讨论以后完成下列表格

方程

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图像

a、b、c

ab0ac0 ,

焦点

范围

x ，y . x ，y .

对称性

顶点

轴长

离心率

长轴长= ，

短轴长= ，

1. 范围

x2y2用方程2+2=1(a>b>0)来证明这一结论的正确性。启发学生，用方程讨论ab图形的范围就是确定方程中x、y的取值范围。

从方程的结构特点出发，师生共同分析，给出证明过程。

x2y2由2+2=1，利用两个实数的平方和为1，结合不等式知识得，

abx2≤a2且y2≤b2,则有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。

2．对称性的发现与证明

证明对称性，先作如下铺垫：（一起回顾）

教师：在第一册学过，曲线关于y轴对称是指什么呢？

学生：曲线上的每一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

教师：要证曲线上每一点关于y轴的对称点仍在曲线上，只要证明-----

1

学生：曲线上任意一点关于y轴的对称点仍在曲线上。

在学生尝试进行问题解决的过程中，当他们难以把握问题解决的思维方向，难以建立起新旧知识的联系时，这就需要教师适时进行启发点拨。

教师：同学们阅读教材中椭圆对称性的证明过程，仔细体会并思考“为什么把x换成-x时，方程不变，则椭圆关于y轴对称”。

请一位学生讲解椭圆对称性的证明过程，以此来训练学生表述的逻辑性、完整性和推理的严谨性。

教师对学生的证明进行评价。

教师：用类似的方法可以证明椭圆关于x轴对称,关于原点对称。课件展示x2y2对称性并总结：方程2+2=1表示的椭圆，坐标轴是其对称轴，原点是其对称ab中心.从而椭圆有两条互相垂直的对称轴,有一个对称中心(简称中心). 教师引导学生对这一环节进行反思，即通过建立坐标系，用椭圆的方程研究椭圆的性质，这种方法我们今后经常用到。

3.顶点的发现与确定

由学生观察容易发现，椭圆上存在着四个特殊点，这四个点就是椭圆与坐标

轴的交点，同时也是椭圆与它的对称轴的交点。

教师启发学生与一元二次函数的图像（抛物线）的顶点作类比，并给出椭圆的顶点定义。

教师：能根据方程确定这四个顶点的坐标吗？

由学生自主探究,求出四个顶点坐标。即令x=0,得 y=±b，因此B1(0,-b), B2(0,b) ，令y=0，得x=±a，因此A1 (-a,0), A2(a,0)。

结合图形指出长轴、短轴、长轴长、短轴长、长半轴长、短半轴长，半焦距，点明方程中a、b和c的几何意义和数量关系。

由学生探究得出椭圆的一个焦点F2到长轴两端点A1 , A2的距离分别为a+c和a-c。教师指出，这在解决天体运行中的有关实际问题时经常用到。

4．离心率

教师：我们在学习椭圆定义时，用同样长的一条细绳画出的椭圆形状一样

吗？

同学们能回答出：不一样，有的圆一些，有的扁一些。

请同学们思考：椭圆的圆扁程度究竟与哪些量有关呢？

课件动画演示

此时学生展开讨论，可能有的说与a、c有关，也可能说与a、b有关等等。

通过观察演示实验，化抽象为具体，引导学生思考。 教师引导学生从演示实验观察到由于椭圆位于直线x=±a,y=±b围成的矩形

里，矩形的变化对椭圆形状的影响。

矩形越狭长，椭圆越扁；矩形越接近于正方形，椭圆越接近于圆；当矩形变为正方形时，即a=b时,椭圆变为圆。

bb即当比值越小，椭圆越扁；比值越大，椭圆越接近于圆。

aa

2

cbcb越大时，越小，椭圆越扁；当越小时，越大，椭圆越接近于圆。aaaac把比值e=叫椭圆的离心率，分析出离心率的范围：0＜e＜1。

a结论：椭圆在-

a＜x＜a，-b＜x＜b内，离心率e越大，它就越扁；离心率e越接近于0，它就越接近于圆。所以说离心率是描述椭圆圆扁程度的量。

类比得到焦点在y轴上的椭圆的性质。

三．巩固与创新应用

探究一：椭圆的简单几何性质

当例1求椭圆

16x225y2400

的长轴长、短轴长、离心率和顶点及椭圆外切矩形的面积，并画出它的草图。

本题采用讲练结合的方式。前一部分由学生口述求解过程，后一部分由教师

介绍画椭圆草图的方法（考虑到画草图对学生来说比较实用）。

教师：根据椭圆的性质，可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图，方法如下：（课件展示）

首先确定椭圆的四个顶点，其次画出表示范围的矩形框，然后画出椭圆在第一象限的部分，最后根据对称性用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆的基本图形。

教师提醒学生：画图时注意椭圆的对称性和顶点附近的平滑性。

学生根据画草图的方法画出上述方程表示的椭圆。

教师说明，如果需要比较准确地画出椭圆，可以按教材例1那样，用描点法

画出椭圆在第一象限的部分，再根据对称性画出整个椭圆（要求学生课下阅读教材中的描点法作图）。

练习：椭圆x24y24离心率是 。答案：3

2此处通过与上题做比较，使学生体会到椭圆的性质是其本身固有的，是客观存在的。

学生的回答可能会因为长轴位置发生变化而导致顶点坐标出错，教师要予以纠正。（此题由学生练习后表达结果）

探究二：由椭圆的几何性质求方程

例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程．

2(1)长轴在x轴上，长轴的长等于12，离心率等于；

3(2)长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过顶点(0，－4)．（分类讨论思想）

四．当堂检测：

1．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为(

) A.332

B. C. 242

2D.

3

3

2．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4,0)，(0,2)，则此椭圆的方程是(

) A.＋＝1或＋＝1 B.＋＝1 416164416 C.＋＝1 D.＋＝1 16416203．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是 ．

．总结提炼

教师：通过这节课学习，你学到了什么？

1.知识总结:本节课我们讨论了椭圆的四个简单性质,掌握这些性质是解决有关问题的基础。

2.数学思想:本节主要用到数形结合、分类讨论的数学思想方法，平时学习中注意运用。 3.数学方法:掌握利用曲线方程研究曲线性质的重要方法——解析法（坐标法），这种方法不仅适用于椭圆也适用于后续课程中的其它曲线。 六.课外作业

课本第42页A组4、5题

板书设计

2.1.2椭圆的简单几何性质（1）

一．性质

二．应用

x2y2以方程2+2=1(a＞b＞0)为例研究

例1

例2

ab

1.对称性.椭圆关于x轴、y轴及原点对称.

2.顶点.顶点坐标:(a,0) , (-a,0), (0,b),(0,-b).

3.范围.椭圆位于x=±a,y=±b围成的矩形内.

c

4.离心率.e =

(0

类比得到焦点在y轴上的性质

a

教学反思：

由于《椭圆的简单几何性质》是圆锥曲线中研究几何性质的第一节课，也是第一次利用曲线方程研究曲线的性质，这节课对于后面学好双曲线、抛物线的几何性质有至关重要的作用。要让学生在整个性质的探究过程中，有自己的想法，评价，以至于学生慢慢地体会学习曲线对于性质的探索方法和路径，这是非常重要的，要充分调动学生的参与度与积极性，以达到高效课堂的要求，要做到这些，我还要不断探索，不断提高，不断学习。

4 x2y2x2y2x2y2x2y2x2y2