习题2.4教学活动设计方案

第七节：抛物线

课时数：2课时

一、

考纲要求

理解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质

二、知识梳理

1．抛物线定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离______________的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的___________，_当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．

2．抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y2＝2px(p＞0)

y2＝－2px(p＞0) 图形

范围

对称轴

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

离心率

标准方程

e＝1

x2＝2py(p＞0)

x2＝－2py(p＞0) 图形

范围

对称轴

顶点坐标

焦点坐标

准线方程

离心率

三、典型例题

1

e＝1

考点一：抛物线的标准方程及几何性质

[例1]1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标

2．已知抛物线过点P(4,2)，求其标准方程

3．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长

4.已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是(

)

A．等于1B．等于4 C．最小值是1 D．最大值是4

由题悟法：与焦点弦有关的常用结论．(以右图为依据) p22p(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．

4sin2θp2112(3)S△AOB＝(θ为AB的倾斜角)． (4)＋为定值. 2sinθ|AF||BF|p(5)以AB为直径的圆与准线相切．

(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切． (7)∠CFD＝90°. 考点二：抛物线的定义及应用

[例2]角度一：到焦点与定点距离之和最小问题

1．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．

2

角度二：到点与准线的距离之和最小问题

2．(2015·忻州联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，求点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值

角度三：到定直线的距离最小问题

3．求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值

角度四：焦点弦中距离之和最小问题

已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，求|AC|＋|BD|的最小值

由题悟法：与抛物线有关的最值问题的解题策略

该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考点三：直线与抛物线的位置关系

[例3]在平面直角坐标系xoy中，曲线C：y12x4与直线l:ykxa(a0)交于M,N两点，（1）当k0时，分别求M点和N点处的切线方程

（2）Y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN?说明理由。

由题悟法：1．设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线

3

方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0. (1)若m≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线有两个公共点；

当Δ＝0时，直线与抛物线只有一个公共点；

当Δ＜0时，直线与抛物线没有公共点．

若m＝0，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行．

[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．

2．直线与抛物线相交的弦长

2p(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．

sin2α(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝

1＋k2·|x1－x2|求解．

4