复习参考题优秀公开课教案

“立体几何中的向量方法------探究线段上点的坐标表示”的教学设计

阳江市第一中学

叶木甲

一、教学内容解析

本节课的研究的内容是怎样表示空间几何体中线段上的点及其应用。

高考中，立体几何考题中常见一种题型：探究线段上点的位置（线段上点的存在性问题）。而解决这种题目的关键就是如何把线段上的动点表示出来，再通过运算及运算结果作出结论。

二、教学目标解析

1、通过实例，让学生掌握空间几何体中线段上的坐标表示；

2、通过实例，让学生掌握如何应用线段上点的坐标表示；

三、教学问题诊断分析

对于平面线段上点的位置，学生应该可以由比例关系确定；但是到了空间中，点的位置从几何的角度考虑的话，往往会借助辅助线、甚至辅助面，此时对学生的空间想像能力要求比较高，对几何中全等、相似等知识的运用也挺高，不容易掌握。而借助空间向量这一工具，在前面我们已经能较好地解决了线面间的平行、垂直、夹角问题。在解决立体几何问题时，应用空间向量虽然对空间想象能力相对没那么高，但是要恰当地处理运算。我们知道，空间的点的坐标一般是（x,y,z）的形式，如果有这么多的未知数（字母）的运算，有些学生会不知道怎样运算或者容易运算错误，因此，课堂上应该让学生紧紧抓住共线条件，让学生把线段上的动点用一个字母表示。

四．教学支持条件分析

学生借助直线的方向向量和平面的法向量，已能够较好解决线面间的关系；借助投影仪和课件提高课堂效率。

五、教学过程设计

（一）以具体例子探究线段上点的坐标表示

问题：

如图，四棱锥PABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，DADP2，以点D为原点建立如图空间直角坐标系。若M是线段DA上的动点，试用一个变量表示点M的坐标；（2）请分别写出线段PC中点N1、三等分点N（2N2更靠近C）的坐标；

若N是线段PC上的动点，试用一个变量表示点N的坐标；（3）请分别写出线段PB中点E1、三等分点E（2E2更靠近B）的坐标；

若E是线段PB上的动点，试用一个变量表示点E的坐标；Z

P N （）请分别写出线段1DA的中点M1、三等分点M（2M2更靠近A）的坐标；D E M A C YB

1 X

设计意图：通过由坐标轴到坐标平面，再到斜面的斜线上的定点、动点探究表示，由浅入深，层层递进，从而让学生空间中线段上点的表示。

师生活动：老师以幻灯片的形式显示上述问题，让学生解决一问再显示下一问，直至完毕。

为了提高效率，上课前把包含问题的导学案给学生，课堂上巡视学生做的结果，用投影仪投影几个学生的不同做法，主要分析探讨他们是如何把点的坐标表示出来的，并板书讲解正确答案并重点引导学生用向量的方法表示，紧紧抓住向量共线ab形式，用一个未知数把动点的坐标表示出来。

师生一起归纳线段上点的坐标表示方法：几何法和向量法；小结在哪一种情况下线段的坐标表示用哪一种表示形式最好，如点在坐标轴，可用（x,0,0）,（0,y,0）,（0,0,z）形式表示更简洁，点在斜面的斜线上用向量的方法好。

（二）线段上点的坐标表示在立体几何中的应用

问题：

【2016高考北京卷，理17改编】如图，在四棱锥PABCD中，O是AD的中点，PO平面ABCD,OCAD,ABAD,ABPO1,ADOC2，如图，以O为原点建立空间直角左边系（I）在棱PA上是否存在点M，使得BMAC?PM的值并说明理由。PA（II）在棱PB上是否存在点N，若存在，求出使得直线CN与平面ABCD所成角的正弦值为若存在，求出PN的值并说明理由。PB11？11O 

Z

Y

X

设计意图：让学生感受体验如何运用线段上点的坐标表示来解决问题。题目中限定了坐标系的建立形式，一是这样建系计算相对简单，二是无论是学生间相互讨论还是评讲时都有统一的形式和数据，让学生容易发现自己在那个环节出现问题。

师生活动：教师给出问题，并与学生一起分析问题，找到解题的思路：根据前面表示动点的方法，由三点共线如何用一个变量把可能存在的点表示出来，如（I）问中假设M存在，设PMPA，其中P，A是定点，就可以用把动点M表示出来，跟着求出相应直线的方向向量和平面的法向量，用向量的知识解决相面的关系。

2 

学生自行解题，小组内对照答案，讨论成员间的问题，老师巡堂，然后老师投影规范的答题并把巡堂发现的问题一一指出来。

（三）课堂小结

1.

空间几何体线段上点的坐标表示方法：几何法和向量法

2.

用向量法表示线段上的动点，要抓住三点共线，由如PMPA这样的形式把动点用一个变量表示出来，再进行向量方法解题。

（四）课后检测

【2017高考全国课标II，理19改编】如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，

1

ABBCAD=1,BADABC90o,E是PD的中点。2在棱PC上是否存在点M，使直线BM与底面ABCD所成角为45o？请说明理由。

设计意图：通过课后作业练习，让学生掌握线段上点的坐标表示及其应用。

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