2.3 抛物线（通用）教学设计第二课时

抛物线专题复习讲义及练习

( 课时1)

★知识梳理★

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (p0)：

标准方程

图形

y22px

▲y22px

▲x22py

▲x22py

▲yyyyxOxOxOxO

焦点

F(xp,0)

2p

2F(xp,0)

2F(0,yp)

2F(0,yp

2p)

2准线

p

2p

2范围

对称轴

顶点

离心率

x0,yR

x0,yR

x轴

xR,y0

xR,y0

y轴

（0，0）

e1

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①y22px(p0)的焦半径PFxP;x22py(p0)的焦半径PFyP；

22②

过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. 2p③

AB为抛物线y22px的焦点弦，则

xAxB

，yAyBp2，|AB|=xAxBp

4x2pt2x2pt3. y2px的参数方程为（t为参数），x22py的参数方程为（t为参数）. 2y2pty2pt2★重难点突破★

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质

难点: 与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

1.要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4x上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) 2点拨：抛物线的标准方程为x211y，准线方程为y,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的416纵坐标是15

16

2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为M，则ABAFBFAA'BB'，点M到准线的距离为弦为直径的圆总与抛物线的准线相切

11(AA'BB')AB，以抛物线焦点22

★热点考点题型探析★

考点1 抛物线的定义

题型

利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1 ]已知点P在抛物线y= 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，PQPFPQPR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQPR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离

,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关

【新题导练】

1.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点Py1)，Py2)，P，y3)在抛物线上，且|P1F|、1(x1，2(x2，3(x32 |P2F|、|P3F|成等差数列，

则有 （

）

A．x1x2x3

B．

y1y2y3 C．x1x32x2 D. y1y32y2

［解析］C 由抛物线定义，2(x2ppp)(x1)(x3),即：x1x32x2． 2222.

已知点A(3,4),F是抛物线y28x的焦点,M是抛物线上的动点,当MAMF最小时, M点坐标是

(

)

[解析] 设M到准线的距离为MK,则|MA|MF|MAMK，当MAMK最小时，M点坐标是(2,4)，

考点2

抛物线的标准方程

题型:求抛物线的标准方程

[例2 ]

求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线x2y40上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. [解析] (1)设所求的抛物线的方程为 ∴抛物线方程为y22px或x22py(p0), 4919y2x或x2y,前者的准线方程是x,后者的准线方程为y

3832 (2) ∴所求抛物线方程为y216x或x28y,对应的准线方程分别是x4,y2. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

x2y21的右焦点重合,则p的值 3.若抛物线y2px的焦点与双曲线32[解析]p31p4

24. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；

④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y=10x的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）

[解析] 用排除法，由抛物线方程y=10x可排除①③④，从而②⑤满足条件. 22

5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且|AM|17,|AF|3，求此抛物线的方程

[解析] 设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'|3，由勾股定理知|MA'|22，点A的横坐标为(22,3p)，代2入方程x22py得p2或4，抛物线的方程x24y或x28y

考点3

抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3 ]设A、B为抛物线y__________. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

22px上的点,且AOB90(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为

ykx2p2p)［解析］设直线OA方程为ykx,由解出A点坐标为(2,2kky2px1yx2解出B点坐标为(2pk,2pk)，ky22px

k(x2pk2)直线AB方程为y2pk,令y0得x2p，直线AB必过的定点(2p,0)1k2【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用1换k而得。

k6. 若直线axy10经过抛物线y24x的焦点，则实数a

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为A1,B1,则A1FB1

(

)

A. 45

B. 60

C. 90

D.

120[解析]C 基础巩固训练

1.过抛物线y24x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于a22a4(aR)，

则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在

[解析]C |AB|xAxBpa22a5(a1)244，而通径的长为4．

2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线x24y上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为

（

）A. 3

B. 4

C. 5

D. 6 [解析] B 利用抛物线的定义，点P到准线y1的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3.两个正数a、b的等差中项是9，一个等比中项是25，且ab,则抛物线y2(ba)x的焦点坐标为(

)

21214A．(0,)

B．(0,)

C．(,0)

D．(,0)[解析] D. a5,b4,ba1

24.

如果P1，P2，…，P8是抛物线y4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，x8，F是抛物线的1414焦点，若x1,x2,,xn(nN)成等差数列且x1x2x945，则|P．

5F|=（

）A．5

B．6

C．

7

D．9

[解析]B 根据抛物线的定义，可知列且x1x2PFxiipxi1（i1，2，……，n），x1,x2,,xn(nN)成等差数2x945,x55,|P5F|=6 5、抛物线y24x的焦点为F,准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（

）

A．33

B．43

C．63

D．83

[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设A(m,n)，则AFABm1,FHOHOFm1，1m12(m1)m3,n23四边形ABEF的面积=[2(31)]2363

26、设O是坐标原点，F是抛物线y24x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则DmOA为 ．[解析]21. 过A 作ADx轴于D，令F，则FA2m即2m2m，解得m2．

抛物线的几个常见结论及其应用（课时2）

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

p2结论一：若AB是抛物线y2px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2，y1y2p2。

42

例：已知直线AB是过抛物线

y22px(p0)焦点F，求证：11为定值。

AFBF

2结论二：（1）若AB是抛物线y2px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则AB2P（α≠0）。2sin（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

例：已知过抛物线y29x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。AB倾斜角为2或。

33

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。

y M P O N B A Q F x

结论四：若抛物线方程为y22px(p0)，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为O为抛物线的顶点，显然kOP

例

直线y2x与抛物线y2px(p0)相交于原点和求P的值．

2x2pt，2设抛物线x22py上动点P坐标为(2pt，2pt2)，y2pt，2pt2t，即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率．

2pt且线段AB长为513，A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，22ptA)，(2ptB2，2ptB)，则tA解析：设点A，B分别为(2ptA，111，tBkOA2．

kOA2kOB2p5pA，B的坐标分别为，p，(8p，4p)．∴AB8p(p4p)213p513．∴p2．

222

练习：

1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则1111=

故4a】

pqpq2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

【证明：抛物线焦点为Fpp，0．设直线AB的方程为xmy，代入抛物线方程，得y22pmyp20．若设222p∥轴，且点xC在准线kCOA(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2．

∵BC；

y12

又由y12px1，得kAOy12p，

故kCOkAO，即直线AC经过原点O．】

x1y1

，，准线方程是xy20，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．

3.已知抛物线的焦点是F(11)【解：设P(x，y)是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得(x1)(y1)

整理，得xy2xy8x8y0，此即为所求抛物线的方程．

2222xy22．

，且与准线xy20垂直的直线，因此有对称轴方程

抛物线的对称轴应是过焦点F(11)yx．

，1)，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点，坐标是(0，0)】

设对称轴与准线的交点为M，可求得M(1

备选

，0)，准线l的方程是x2y20，试求该抛物线的焦点坐标和方程．

1.抛物线的顶点坐标是A(1

解：依题意，抛物线的对称轴方程为2xy20．

设对称轴和准线的交点是．设焦点为F，则FM的中点是A，故得焦点坐标为M，可以求得M，552262x2y24242F，．

再设P(x，y)是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得xy，化简整理55555得4xy4xy4x12y0，即为所求抛物线的方程．

22例2

已知A，B为抛物线x24y上两点，且OAOB，求线段AB中点的轨迹方程．

1444t2)，B，2．设线段中点P(x，y)，解析：设kOAt，OBOAkOB，据t的几何意义，可得A(4t，ttt141x4t2t，2tt则消去参数t得P点的轨迹方程为x22(y4)．

y14t242t21.2t2t2