正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教学实录与评析

24.3 正多边形和圆

一．选择题（共12小题）

1．在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（

）

A．

B．5 C．

D．5 2．下列关于圆的叙述正确的有（

）

①对角互补的四边形是圆内接四边形；②圆的切线垂直于圆的半径；③正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数；④过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

3．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（

）

A．π

B．

C．2π

D．4π

4．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转……连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是（

）

A．0.5 B．0.7 C．﹣1 D．﹣1 5．如图，点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，分别以点B、D、F为圆心，AF的

长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案．已知⊙O的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（

）

A．

B．

C．

D．

6．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（

）

A．2 B．1 C．

D．

7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点A作⊙O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（

）

A．AE∥BD B．AB=BF C．AF∥CD D．DF= 8．如图，在正八边形ABCDEFGH中，若四边形ADEH的面积等于20，则阴影部分的面积等于（

）

A．10 B．20 C．18 D．20 9．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（

）

A．

B．

C．

D．

10．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点0重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（

）

A．（1，）

B．（，1）

C．（1，）

D．（﹣1，）

11．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（

）

A．2cm B．

cm C．

cm D．1cm 12．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（

）

A．6 B．12 C．6 D．6

二．填空题（共6小题）

13．圆内接正三边形的边长为12cm，则边心距是

cm．

14．正六边形的边长为4cm，它的半径等于

cm．

15．一个半径为5cm的圆内接正六边形的面积等于

．

16．如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为

．

17．如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，则∠OCB的度数为

度．

18．如图，有一个正六边形图片，每组平行的对边距离为3米，点A是正六边形的一个顶点，现点A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好落在数轴点A′上，则点A′对应的实数是

．

三．解答题（共6小题）

19．如图，正五边形ABCDE的两条对角线AC，BE相交于点F．

（1）求证：AB=EF；

（2）若BF=2，求正五边形ABCDE的边长．

20．如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．

（1）正方形ABCD与正六边形AEFCGH的边长之比为

；

（2）连接BE，BE是否为⊙O的内接正n边形的一边？如果是，求出n的值；如果不是，请说明理由．

21．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

22．如图，⊙O的周长等于

8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．

（1）求圆心O到AF的距离；

（2）求正六边形ABCDEF的面积．

23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．

（1）求∠AED的度数．

（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．

24．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．

（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：

正多边形

正方形

正五边形

正六边形

…

正n边形

∠BQM的度数

…

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，

所以这个正六边形外接圆半径是，

故选：B．

2．【解答】解：对角互补的四边形是圆内接四边形，所以①正确；

圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；

正多边形中心角的度数等于这个正多边形一个外角的度数，所以③正确；

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以④正确．

故选：C．

3．【解答】解：∵正方形的边长为2，

∴正方形的对角线的长为2，

∴正方形的外接圆的直径为2，

∴正方形的外接圆的面积=2π，

故选：C．

4．【解答】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，

观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，

当正方形和正六边形的边重合时，点B，M间的距离可能是1或﹣1，

故选：D．

5．【解答】解：连接OA、OB、AB，作OH⊥AB于H，

∵点A、B、C、D、E、F是⊙O的等分点，

∴∠AOB=60°，又OA=OB，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB=OB=1，∠ABO=60°，

∴OH==，

∴“三叶轮”图案的面积=（﹣×1×）×6=π﹣，

故选：B．

6．【解答】解：因为圆内接正三角形的面积为，

所以圆的半径为，

所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°=，

故选：B．

7．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠BAE=∠ABC=∠C=∠EDC=∠E==108°，BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB=×（180°﹣∠C）=36°，

∴∠ABD=108°﹣36°=72°，

∴∠EAB+∠ABD=180°，

∴AE∥BD，故本选项不符合题意；

B、连接OA、OB，

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠AOB==72°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=（180°﹣72°）=54°，

∵FA切⊙O于A，

∴∠OAF=90°，

∴∠FAB=90°﹣54°=36°，

∵∠ABD=72°，

∴∠F=72°﹣36°=36°=∠FAB，

∴AB=BF，故本选项不符合题意；

C、∵∠F=∠CDB=36°，

∴AF∥CD，故本选项不符合题意；

D、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF=∠AHD=90°，

∵∠EDC=108°，∠CDB=∠EDA=36°，

∴∠ADF=108°﹣36°﹣36°=36°=∠F，

∴AD=AF，

∴FH=DH，

当∠F=30°时，AF=2AH，FH=DH=AH，

此时DF=AF，

∴此时∠F=36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；

故选：D．

8．【解答】解：作出正方形MNQR，如图所示：

△AMB中，AM=x，则BM=x，AB=x，正八边形的边长是x．

则正方形的边长是（2+）x．

根据题意得：

x（2+）x=20，

解得：x2=10（﹣1）．

则阴影部分的面积是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．

故选：B．

9．【解答】解：由题意可得：空白部分为正六边形，阴影部分是三个全等的正三角形，

它们的边长相等，

由正六边形可以分割为6个全等的三角形，

则阴影部分与空白部分的面积比为：

=．

故选：A．

10．【解答】解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOF=∠FOE=∠EOD=∠DOC=∠COB=∠BOA=60°，

∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，

∴点A旋转6次回到点A，

2018÷6=336…2 ∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，

在Rt△EOH中，OH=OE=1，EH=OH= ∴顶点A的坐标为（1，），

故选：A．

11．【解答】解：∵正六边形的任一内角为120°，

∴∠1=30°（如图），

∴a=2cos∠1=，

∴a=2．

故选：A．

12．【解答】解：如图所示，连接OB、OC，过O作OG⊥BC于G，

∵此多边形是正六边形，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBG=30°，

∴边心距OG=OB?sin∠OBG=12×=6；

故选：D．

二．填空题（共6小题）

13．【解答】解：如图在正三角形ABC中，AB=BC=AC=12，作OH⊥BC于H，连接OB．

∵OH⊥BC，

∴BH=CH=6，

在Rt△OBH中，OH=BH?tan30°=6×=2（cm），

故答案为：2．

14．【解答】解：∵此多边形为正六边形，

∴∠AOB==60°；

∵OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴OA=AB=4cm，

故答案为：4

15．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，

得到六个等边三角形，

等边三角形的边长是5，

因而面积是×5×=cm2，

因而正六边形的面积

cm2．

故答案为cm2．

16．【解答】解：正五边形的内角是∠ABC==108°，

∵AB=BC，

∴∠CAB=36°，

正六边形的内角是∠ABE=∠E==120°，

∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，

∴∠ADE=360°﹣120°﹣120°﹣36°=84°，

故答案为84°．

17．【解答】解：∵⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD分别相切于A，C两点，

∴OA⊥AE，OC⊥CD，

∴∠OAE=∠OCD=90°，

∵∠BCD=108°，

∴OCB=108°﹣90°=18°

故答案为18．

18．【解答】解：如图作BH⊥OC于H．

∵BC=BO，BH⊥OC，

∴CH=HO=，

在Rt△CBH中，∵cos30°=，

∴CH=，

由题意OA′=6BC=6，

故答案为6．

三．解答题（共6小题）

19．【解答】解：（1）∵正五边形ABCDE，

∴AB=AE，∠BAE=108°，

∴∠ABE=∠AEB=36°，

同理：∠BAF=∠BCA=36°，

∴∠FAE=∠AFE=72°，

∴AE=EF，

∴AB=EF；

（2）设AB=x，

由（1）知；∠BAF=∠AEB，

∵∠ABF=∠ABE，

∴△ABF∽△EBA，

∴，

即，

解得：（舍去），

∴五边形ABCDE的边长为1+．

20．【解答】解：（1）设此圆的半径为R，

则它的内接正方形的边长为R，

它的内接正六边形的边长为R，

内接正方形和外切正六边形的边长比为R：R=：1；

故答案为：：1；

（2）BE是⊙O的内接正十二边形的一边，

理由：连接OA，OB，OE，

在正方形ABCD中，∠AOB=90°，

在正六边形AEFCGH中，∠AOE=60°，

∴∠BOE=30°，

∵n==12，

∴BE是正十二边形的边．

21．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，

∴正六边形的边长AB=OA=a；

正六边形的周长=6AB=6a；

∵OM=OA?sin60°=a，

正六边形的面积S=6××a×a=a2．

22．【解答】解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，

∵⊙O的周长等于8πcm，

∴半径OC=4cm，

∵六边形ABCDE是正六边形，

∴∠COD=60°，

∴∠COH=30°，

∴圆心O到CD的距离=4×cos30°=2，

∴圆心O到AF的距离为2cm；

（2）正六边形ABCDEF的面积=×4×2×6=24cm2．

23．【解答】解：（1）如图1中，连接OA、OD．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠AOD=90°，

∴∠AED=∠AOD=45°．

（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．

∵BF∥DE，AB∥CD，

∴∠BDE=∠DBF，∠BDC=∠ABD，

∴∠ABF=∠CDE，

∵∠CFA=∠AEC=90°，

∴∠DEC=∠AFB=135°，

∵CD=AB，

∴△CDE≌△ABF，

∴AF=CE=1，

∴AC==，

∴AD=AC=，

∵∠DHE=90°，

∴∠HDE=∠HED=45°，

∴DH=HE，设DH=EH=x，

在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，

∴=（4﹣x）2+x2，

解得x=或（舍弃），

∴DE=DH= 24．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=∠C=60°，

在△ABM和△BCN中，

，

∴△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；

（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，

∴∠BAM=∠CBN，

∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，

同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，

正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，

正n边形ABCD…中，∠BQM=，

故答案为：90°；108°；120°；．