正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系特级教师教学实录

24.3 正多边形和圆

【教学任务分析】

知识

技

教

程

学

目

法

标

感

态度

重探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算. 点

难探索正多边形与圆的关系. 点

能

过方情经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的. 1.了解正多边形和圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念. 2.能运用正多边形的知识解决与圆的有关计算问题.

1.在探索正多边形与圆的关系的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性. 2.发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力. 【教学环节安排】

问环节

教

学

问 题 设 计

【问题1】

观察下列美丽图案，回答问题：

教学活动设计

教师展示图片，提出问题（1），学生观察图案，思考并指出找到的正多边形. 在问题（1）中，教师重点关注: （1）学生能否从这些图案中找到正多边形

（2）学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系；

教师提出问题（2）、（3），学生回忆、思考，指2-3生回答. 教师提出问题（4），引导学生观察、思考. 学生讨论、交流、发表各自见解. 题最佳

解决方案

情境引

入（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常看到的用正多边形得到的图案，你能从这些图案中找出正多边形来吗？

（2）什么叫正多边形? （3）从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗?其对称轴有几条，对称中心是哪一点?

（4）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样才能作出一个正多边形来？

在问题（2）中，教师重点关注学生能否会联想到等分圆周作出正多边形来.

【问题2】

将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论.

教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形. 教师适当点拨、分析，帮助学生找到有用

B ⌒2

3 ⌒

C A ⌒

1

5⌒

4

⌒D E

的信息. 教师引导学生从正多边形的定义入手证明（即证明多边形各边都相等，各角都相等），引导学生观察、分析. 根据教师的分析，学生分小组合作、交流，尝试完成证明过程.

教师提出问题3，学生思考，小组内讨论、交流，仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形. 问题3的设计是将

结论由特殊推广到一般.这也是研究问题的一般方法.

问题4由学生自己看书理解概念. 教师板书，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.

自

【分析】

主（1）将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对探的各边相等；

究的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边.进而证明五边形（2）观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；

（3）每一个圆周角所对弧都是等分的三段弧；

（4）利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角

相等，从而证明圆内接五边形是正五边形.

【问题3】

合如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

作交流

【问题 4】

归纳总结：

学生看书（课本图24.3—3）理解概念：

(1)中心（2）半径

（3）中心角

（4）边心距

基的周长和面积（精确到0.1m）

尝 例1 有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地【分析】（1）要求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；

试应用

正多边形边数

角

（2）将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究；

（3）如图构造等腰△例2 完成下表中有关正多边形的计算：

OBP和直角△OPC,从而可以利用勾股定理进行计算. 教师出示例2，根据例1的解题思路，让学生独立完成.达到举一反三的目的. 教师巡视，个别辅3内心角

中径

半长

边3 4

23

1 导. 6

学生完成后，由3名学生口答.

学习小组内互相交流、讨论. 把本节课的知识上升到更高的层次.

思考：（1）正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？成正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？

果

展示

（2）正n边形的半径为R，边心距，边长分别是多少？

1.正八边形的中心角是 度，外角是 度.

2.圆内接正方形的半径与边长的比值是 . 3.正多边形的中心角与外角的大小关系是 .

补4.已知圆内接正方形的边长为2，则该圆的内接正六边形边偿长为__________．

提5.正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定

教师出示题目.

学生独立完成.

学生口述答案.

师生共同纠错.

6.等边三角形的面积是483，求等边三角形外接圆的面积. 高

必做题：

学生独立完成，教师批改、总结. 教师布置作业并提出要求. 学生课下完成. 有能力的同学课下完成选做题.

作课本第107页习题24.3第3、5、6题. 业选做题：

1.课本第108页习题24.3第7、8题. 的边长为b，则a、b有何确定的等量关系. 2.圆的半径为R，圆内接正三角形的边长为a，圆内接正方形设计教后

反思