试卷讲评教案推荐

第二十一章水平测试

一．选择题（共10小题）

1．下列方程中，一元二次方程有（

）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（

）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣

；④x2=1；⑤

3．已知关于x的方程x2+2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是（

）

A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（

）

A．（x+1）2=6 B．（x+1）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣1）2=9

5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（

）个球队参加比赛．

A．7 B．8 C．9 D．10

6．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（

）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

7．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（

）

A．10 B．12 C．14 D．12或14

8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）

A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0

9．2016年三月份某地区发生禽流感的养鸡场100家，后来四、五月份新发生禽流感的养鸡场共250家．设四、五月份平均每月禽流感的增长率为x，依题意列出的方程是（

）

A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250

C．100（1﹣x）2=250 D．100（1+x）2+100=250

10．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（

）

A．2014

第1页

B．2015 C．2016 D．2017

二．填空题（共6小题）

11．方程3（x﹣1）2=5（x+2）的二次项系数

；一次项系数

；常数项

．

12．一元二次方程x2=3x的解是：

．

13．方程是一元二次方程，则m=

．

14．现有一块长30cm、宽20cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为400cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得

．

15．已知x2+3x+5的值为7，则代数式3x2+9x﹣2的值为

．

16．如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是

．

三．解答题（共3小题）

17．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．

18．解方程：（2x-3）2=4x﹣6．

19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．

四．解答题（共3小题）

20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=﹣3时，求方程的根．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．

22．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

五．解答题（共3小题）

23．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？

24．如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，第2页

一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽．

25．某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

第3页

第二十一章水平测试

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列方程中，一元二次方程有（

）

①3x2+x=20；②2x2﹣3xy+4=0；③A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

【解答】解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选：B．

【点评】判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．

2．一元二次方程x2﹣4=0的解是（

）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x1=，x2=﹣

；④x2=1；⑤

【分析】观察发现方程的两边同时加4后，左边是一个完全平方式，即x2=4，即原题转化为求4的平方根．

【解答】解：移项得：x2=4，

∴x=±2，即x1=2，x2=﹣2．

第4页

故选：C．

【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解．

（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

3．已知关于x的方程x2+2x+k=0没有实数根，则k的取值范围是（

）

A．k＜1 B．k＞1 C．k＜﹣1 D．k＞﹣1

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4﹣4k＜0，解之即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+k=0没有实数根，

∴△=22﹣4k=4﹣4k＜0，

解得：k＞1．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．

4．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（

）

A．（x+1）2=6 B．（x+1）2=9 C．（x﹣1）2=6 D．（x﹣1）2=9

【分析】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【解答】解：由原方程移项，得

x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1=6

∴（x﹣1）2=6．

第5页

故选：C．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

5．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（

）个球队参加比赛．

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=．即可列方程求解．

【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，

x（x﹣1）÷2=28，

解得x=8或﹣7（舍去）．

故应邀请8个球队参加比赛．

故选：B．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．

6．已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（

）

A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2

【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．

故选：A．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．

7．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2﹣1=0的根，则此三角形的周长为（

）

第6页

A．10 B．12 C．14 D．12或14

【分析】求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．

【解答】解：（x﹣3）2﹣1=0，

x﹣3=±1，

解得x1=4，x2=2．

若x=4，则三角形的三边分别为4，4，6，其周长为4+4+6=14；

若x=2时，6﹣4=2，不能构成三角形，

则此三角形的周长是14．

故选：C．

【点评】此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．

8．下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）

A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 【分析】分别计算出每个方程的判别式即可判断．

【解答】解：A、∵△=25﹣4×2×4=﹣7＜0，∴方程没有实数根，故本选项正确；

B、∵△=36﹣4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

C、∵△=16﹣4×5×（﹣1）=36＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

D、∵△=16﹣4×1×3=4＞0，∴方程有两个相等的实数根，故本选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

第7页

D．3x2﹣4x+1=0

9．2016年三月份某地区发生禽流感的养鸡场100家，后来四、五月份新发生禽流感的养鸡场共250家．设四、五月份平均每月禽流感的增长率为x，依题意列出的方程是（

）

A．100（1+x）2=250 B．100（1+x）+100（1+x）2=250

C．100（1﹣x）2=250 D．100（1+x）2+100=250

【分析】设平均每月的增长率为x，根据一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，可列出方程．

【解答】解：设平均每月的增长率为x，

100（1+x）+100（1+x）2=250．

故选：B．

【点评】本题考查的是一个增长率问题，关键是知道一月份的，和增长两个月后三月份的，列出方程．

10．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（

）

A．2014 B．2015 C．2016 D．2017

【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2=﹣a+2017，则a2+2a+b=2017+a+b，然后根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，再利用整体代入的方法计算．

【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2017=0的根，

∴a2+a﹣2017=0，

∴a2=﹣a+2017，

∴a2+2a+b=﹣a+2017+2a+b=2017+a+b，

∵a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，

∴a+b=﹣1，

∴a2+2a+b=2017﹣1=2016．

故选：C．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．

第8页

二．填空题（共6小题）

11．方程3（x﹣1）2=5（x+2）的二次项系数

3

；一次项系数

﹣11

；常数项

﹣7

．

【分析】要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．

【解答】解：3（x﹣1）2=5（x+2），

3（x2﹣2x+1）=5x+10，

3x2﹣6x+3﹣5x﹣10=0，

3x2﹣11x﹣7=0，

则二次项系数是3；一次项系数是﹣11；常数项是﹣7，

故答案为：3；﹣11；﹣7．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

12．一元二次方程x2=3x的解是：

x1=0，x2=3

．

【分析】利用因式分解法解方程．

【解答】解：（1）x2=3x，

x2﹣3x=0，

x（x﹣3）=0，

解得：x1=0，x2=3．

故答案为：x1=0，x2=3．

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

13．方程是一元二次方程，则m=

﹣2

．

第9页

【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得m的取值范围．

【解答】解：∵关于x的方程∴，

是一元二次方，

解得：m=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．

14．现有一块长30cm、宽20cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为400cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得

x2﹣25x+50=0

．

【分析】本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（30﹣2x）cm，宽是（20﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．

【解答】解：由题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）=400

整理得：x2﹣25x+50=0，

故答案为：x2﹣25x+50=0．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．

15．已知x2+3x+5的值为7，则代数式3x2+9x﹣2的值为

4

．

【分析】观察题目后可发现3x2+9x=3（x2+3x），因此可整体求出x2+3x的值，然后整体代入即可求出所求的结果．

【解答】解：∵x2+3x+5=7∴x2+3x=2

代入3x2+9x﹣2得，3（x2+3x）﹣2=3×2﹣2=4．

【点评】代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式x2+3x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．

第10页

16．如果关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a的取值范围是

a≤1且a≠0

．

【分析】先根据关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根得出△≥0，a≠0，求出a的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，

∴，解得a≤1且a≠0．

故答案为：a≤1且a≠0．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．

三．解答题（共3小题）

17．解方程：3x2﹣6x﹣2=0．

【分析】先根确定a=3，b=﹣6，c=﹣2，算出b2﹣4ac=36+24=60＞0，确定有解，最后代入求根公式计算就可以了．

【解答】解：∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，

∴b2﹣4ac=36+24=60＞0，

∴x=∴x1=，

，x2=

【点评】本题考查了运用求根公式法解一元二次方程，解答过程中先要把方程化为一般形式，再确定a、b、c的值，求出△的值判断有无解是关键．

18．解方程：（2x-3）2=4x﹣6．

【分析】先把方程变形为（2x-3）2﹣2（2x-3）=0，然后利用因式分解法解方程．

【解答】解：（2x-3）2﹣2（2x-3）=0，

（2x-3）（2x-3﹣2）=0，

2x-3=0或2x-3﹣2=0，

所以x1=35，x2=．

22第11页

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．

19．已知一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，求m的值．

【分析】由于一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，那么把x=0代入方程即可得到关于m的方程，解这个方程即可求出m的值．

【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+7mx+m2+3m﹣4=0有一个根为零，

∴把x=0代入方程中得

m2+3m﹣4=0，

∴m1=﹣4，m2=1．

由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，

∴m=﹣4

【点评】此题主要考查了方程解的定义和解一元二次方程，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到所求字母的方程，再解此方程即可解决问题．

四．解答题（共3小题）

20．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．

（1）当m=3时，判断方程的根的情况；

（2）当m=﹣3时，求方程的根．

【分析】（1）判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以判断出根的情况；

（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可．

【解答】解：（1）∵当m=3时，

△=b2﹣4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，

∴原方程无实数根；

（2）当m=﹣3时，

第12页

原方程变为x2+2x﹣3=0，

∵（x﹣1）（x+3）=0，

∴x﹣1=0，x+3=0，

∴x1=1，x2=﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

21．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0有实数根．

（1）求实数m的取值范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1x2+x1+x2=15，求m的值．

【分析】（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；

（2）直接利用根与系数的关系解答．

【解答】解：（1）由题意得，△=（﹣6）2﹣4（2m+1）≥0，

解得m≤4；

（2）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m+1=0的两个实数根为x1，x2，

∴x1x2=2m+1，x1+x2=6，

∴x1x2+x1+x2=2m+1+6=15，

解得m=4．

【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

22．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

【分析】设每一轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑．根据两轮感染后有81第13页

台电脑被感染列方程求解即可．

【解答】解：设每一轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑．

根据题意得：（1+x）2=81，

解得：x=8或x=﹣10（舍去）．

答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．

【点评】本题主要考查的是二元一次方程的应用，根据两轮感染后有81台电脑被感染列出方程是解题的关键．

五．解答题（共3小题）

23．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？

【分析】先把x=3代入9﹣3（m+1）+2m=0得m=4，则方程化为x2﹣7x+12=0，利用因式分解法解得x1=3，x2=4，根据三角形三边的关系和等腰三角形的性质得等腰△ABC的腰长为4，底边长为3或腰为3，底边为4，然后分别计算等腰△ABC的周长．

【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．

24．如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽．

第14页

【分析】利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出矩形面积，求出即可．

【解答】解：设AB=x，则BC=38﹣2x；

根据题意列方程的，

x（38﹣2x）=180，

解得x1=10，x2=9；

当x=10，38﹣2x=18（米），

当x=9，38﹣2x=20（米），而墙长19m，不合题意舍去．

答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．

25．某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；

【解答】解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，

（40﹣x）（20+2x）=1200，

解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），

答：每件童装降价20元；

【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用．

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