附录1 本章测试答案与提示ppt配套的教学设计及说课稿

《折纸游戏中的圆锥曲线》教学设计

江苏省太仓高级中学

杨龙

一、教学内容分析

本节课内容选自苏教版《普通高中课程标准（实验）》数学选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中的第33页，43页，54页的三道操作题，都是通过学生折纸游戏，观察折痕围成的轮廓，借助信息技术直观猜想轮廓曲线的类型，最后利用定义证明自己的发现.该部分内容属于习题中的“探究•拓展”类题目，旨在提高学生自主探索，动手实践，合作交流，阅读自学等学习能力和动手能力，在实践操作的基础上中进一步巩固三种圆锥曲线的定义，了解圆锥曲线在生活中的应用，感受数学直观与逻辑推理的有效结合带来的数学之美. 二、教学目标

1.知识与技能：加深对三种圆锥曲线定义的理解，学会利用几何画板等数学软件解决简单问题；

2.过程与方法：学会利用定义法探究圆锥曲线方程，体会类比猜想等数学方法；

3.情感、态度与价值观：启发学生养成乐于动手，敢于创新的习惯，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力，让学生感受数学与生活的密切关系，激发数学学习兴趣. 三、教学重难点

教学重点：利用定义法研究点的轨迹问题

教学难点：轮廓围成的图形到点的轨迹的转化

四、教学过程

1.预习作业

课前布置如下操作题：准备一张圆形纸片，在圆内任

取不同于圆心的一个点F，将纸片折起，使圆周过点F，

然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把

直线l画出来）（图1）.这样继续折下去，得到若干折痕. 观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

图1

操作之后分组交流成果. 2.课堂探究

（1）成果展示：利用实物投影仪，请两个小组代表（一个折痕少一些，一个折痕多一些）展示自己的折纸成果，并说出你的发现. （2）软件操作：

老师提问：①折的次数多一些对结果的呈现有没有优势？②请同学们借助电脑演示折纸过程，看有何新的发现？

图2 发现一：折痕围成的轮廓是椭圆；

发现二：定点F和圆心O应该是这个椭圆的两个焦点；

发现三：每条折痕都与椭圆相切；

······

（3）推理证明：你能证明你的发现吗？

结论一：折痕围成的图形是以定点F和圆心O为焦点的椭圆. 为了证明这个结论，首先需要学生弄清楚折痕与轮廓的关系进而将轮廓用点的轨迹来刻画.为此，提出以下几个问题：

问题1：每一条折痕上的点与轮廓有怎样的位置关系？

学生：在轮廓上和在轮廓外. 问题2：每一条折痕上有几个点在轮廓上？

学生：只能有一个. 问题3：你能确定这个点的位置吗？

通过几何画板的操作与演示，学生能够看出中垂线l与半径OM的交点P即为椭圆与折痕的公共点（图3），进一步通过跟踪点P，发现其运动轨迹与已知椭圆完全重合. 图3

证明：任意给定圆上一点M，连接MF,OM，设线段MF的中垂线为l，设l与直线OF的交点为P，则P的轨迹即为折痕围成的轮廓.设圆O半径为r. 连接PF，因为PMPF，所以PFPOPMPOrOF. 由椭圆定义可知，点P的轨迹为以F,O为焦点，r为长轴长的椭圆. 命题1：在半径为r的圆O内任取不同于圆心的一定点F，设M为圆周上任一点，线段MF的中垂线为l，则OM与l交点P的轨迹是以O、F为焦点，r为长轴的椭圆. 结论二：任意一条折痕l与该椭圆相切. 证明：设点P是l与椭圆的一个公共点，点M为点F关于直线l的对称点，则M在圆O上.设点N为直线l上异于点P的任意一点，则NONFNONMOMr，所以N不在椭圆上.因此，直线l与椭圆只有一个公共点，即直线l与该椭圆相切. （4）知识应用：

阅读下列材料：据说，很久以前，意大利西西里岛有一个山洞，叙拉古的暴君杰尼西亚把一些囚犯关在这个山洞里．囚犯们多次密谋逃跑，但每次计划都被杰尼西亚发现．起初囚犯们认为出了内奸，但始终未发现告密者．后来他们察觉到囚禁他们的山洞形状古怪，洞壁把囚犯们的话都反射到狱卒耳朵里去了，于是囚犯们诅

咒这个山洞为“杰尼西亚的耳朵”．原来，这个囚洞的

剖面近似于椭圆，犯人聚居的地方恰好在一个焦点附

图4 近，狱卒在另一个焦点处偷听.无论囚犯们怎样压低嗓门，他们的声音照样被狱卒听得一清二楚.这个传说表明，椭圆形的曲线能使从一个焦点发出的信号在另一个焦点汇聚，如从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处，因此椭圆的这一性质被称为椭圆的光学性质. 你能用刚才的研究结果解释椭圆的光学性质吗？

解释：光线经椭圆上一点反射就是以在该点处的切线为镜面

进行反射.由图3可以看出，椭圆一个焦点关于椭圆上他任意一点P处的切线

的对称点和点P以及圆心在同一条直线上，因此，反射光线必经过另一个焦点. （5）类比探究：

请同学们继续借助几何画板，通过适当的改变题目条件探究能否得到其他曲线？

①如果F与圆心重合，得到的折痕围成的曲线围成的曲线为圆O的同心圆（图5）.

图5 ②如果F落在了圆上，则所有的折痕经过圆心（图6）.

图6 ③如果F在圆外，折痕围成的轮廓变成了以O,F为焦点，半径r为实轴长的双曲线（图7）.

图7 命题2：在半径为r的圆O外任取一定点F，设M为圆周上任一点，线段MF的中垂线为l，则直线OM与l交点P的轨迹是以O、F为焦点，r为实轴长的双曲线. 证明与椭圆类似. （6）课后作业

刚才的探究都是针对定点的位置，如果改变圆的大小，将圆的半径变为无穷大，即圆周变成一条直线，会有怎样的结果？请同学们课下利用几何画板猜想结论并给出证明. 3.课堂小结

本节课我们通过折纸游戏和几何画板发现了圆内异于圆心的一点和圆上一点连线的中垂线与对应半径的交点的轨迹是椭圆，圆外一点与圆上一点连线的中垂线与对应半径所在直线的交点的轨迹为双曲线等结论，并利用定义进行了严格的证明，体验了数学发现→结论猜想→技术验证→逻辑推理→实际应用的数学知识产生以及应用的完整过程，体会到了数学来源于生活又应用于生活.在实际操作的过程中，我们又体会到了现代信息技术为我们认识数学提供了新的途径.