2.2.1 椭圆的标准方程教学设计及教案分析

高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案

一、

课型

新授课

二、教学内容

1、椭圆的定义；

2、椭圆的两类标准方程；

3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。

三、教学目标

1、知识与技能：理解并掌握椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

2、过程与方法：通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力。让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系；

3、情感态度与价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。培养学生的探索能力和进取精神，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感，同时培养团队协作的能力。

四、教学重点、难点

重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；

难点：椭圆标准方程的推导过程。

五、教学方法

教师引导为主、学生自主探究为辅。

六、教学媒体

幻灯片、黑板。

七、教学过程

（一）创设情境，导入新课

用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型，它运行的轨迹又是什么图形呢？可以看出，它的运行轨迹是椭圆。此时老师指出：在实际生活中，椭圆随处可见，很多学科也涉及到椭圆的应用，所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。

（二）问题探究

老师提问：我们从直观上认识了椭圆，那么椭圆它是如何形成的呢？椭圆满足什么样的条件呢？它的定义又是如何？ 1、椭圆的形成

下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具：一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米，宽3分米的硬纸板。然后将钉子系在细绳的两头，将钉子固定在图板上，使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度（请同学们考虑一下，为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度？），我们用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动，请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢？

如果我们将两个钉子之间的距离变大，使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度，同样用笔尖将细绳拉紧，让笔尖在图板上慢慢移动。我们发现笔尖只能在两个钉子之间来回运动，这时笔尖运动的轨迹是两个钉子之间的线段。

将两个钉子之间的距离再增大，此时就可以发现，细绳的长度比两个钉子之间的距离小，笔尖没有轨迹。

再用课件给学生进行演示：

通过演示可以发现，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键。

请同学们根据作图的过程和老师刚才的演示，思考：在作图过程中，有哪些物体的位置没变化？有哪些量没有变化？如何来归纳椭圆的定义呢？ 2、椭圆的定义

平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。通常常数

记作2a，焦距记作2c，则有2a＞2c。

注意：这里的常数必须大于|F1F2|。如果常数=|F1F2|，则是线段F1F2；若常数＜|F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，必须得加上限制条件：“此常数大于|F1F2|”。

3、椭圆标准方程的推导

首先复习求曲线方程的一般步骤：①建系设点；②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程。

（1）建系设点：设椭圆的焦距为2c（c＞0），M与F1、F2的距离之和为2a，以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1（-c，0），F2（c，0）。

（2）动点M满足的几何条件：

由椭圆的定义不难得出动点M满足的条件为： y M

F1

F2

o

x

MF1MF22a (3）动点M满足的代数方程：

MF1(xc)2y2

∵

∴(xc)2y2(xc)2y22a

（4）化简方程：

（a2-c2）x2+a2y2=a2(a2-c2)

由椭圆的定义可知，2a>2c,即a>c,所以a2-c2>0。

令a2-c2=b2,其中b>0,代入上式，得b2x2+a2y2=a2b2, x2y2两边同除以ab,得221（a>b>0）,此即为椭圆的标准方程。

ab22它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(c,0)

F2(c,0)，中心在坐标原点的椭圆方程。其中a2c2b2。

如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标分别为F1（0，-c）、F2

(0,c)，a、

y2x2b的意义同上，那么所得方程变为221（a>b>0）

ab

（三）例题讲解

例1、（1）已知椭圆的焦点坐标是F1（－4，0）,F2（4，0），椭圆上任一点P到F1、F2的距离之和为 10，求椭圆的标准方程；

（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（-3/2,5/2），求椭圆的标准方程。

x2y2解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221（a>b>0）

ab ∵2a=10,2c=8，

∴a=5,c=4. ∴b2=a2-c2=52-42=9. x2y21所以所求椭圆的标准方程为259. y2x2（2）因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为221（a>b>0）

ab由椭圆的定义知，

35352a()2(2)2()2(2)2

2222 311010

22 210

∴a=10

又c=2 ∴b2=a2-c2=10-4=6 y2x21

所以所求椭圆的标准方程为106

注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件。

（四）巩固练习

1、平面内两定点的距离是8，一动点M到这两定点的距离之和是10，建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程。

2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）a=4，b=1，焦点在x轴上；

（2）a2=16，c2=15，焦点在y轴上；

（3）a+b=10,c=25。

（五）课时小结

本节课学习了椭圆的定义及椭圆的标准方程，在实际解题过程中应注意：

（1）一个重要关系式：a2=b2+c2 且a>b>0；

（2）椭圆的焦点位置由含x，y的分式的分母大小来确定；

（3）当2a=2c时，轨迹为线段，当2a<2c时，轨迹不存在。

（六）课后作业

作业：

P42练习：2，3. P49习题2.2A组：1，2.

八、板书设计

8.1 椭圆及其标准方程

一、椭圆的定义 二、椭圆的标准方程 三、例题讲解

例1

例2 四、巩固练习

练习1

练习2

九、教学反思