2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系第二课时教学设计

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

整体设计

一、教学分析：

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 二、教学目标：

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 三、重点难点

正确判定直线与平面的位置关系. 四、教学过程

（一）导入新课

思路1.(情境导入)

一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？

图1 （二）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做直线在平面内？

②什么叫做直线与平面相交?

③什么叫做直线与平面平行?

④直线在平面外包括哪几种情况?

⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动：教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑，对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果：①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤

直线在平面内

aα

直线与平面相交

a∩α=A

直线与平面平行

（三）应用示例

a∥α

思路1

例1

下列命题中正确的个数是(

) ①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行

④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：如图2,

图2

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；

A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B 变式训练

请讨论下列问题：

若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2

已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.

求证：l与a、b、c共面.

证明：如图4,∵a∥b,

图4 ∴a、b确定一个平面，设为α.

∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α.

又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即lα.

同理b、c确定一个平面β，lβ,

∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面. 变式训练

已知aα,bα,a∩b=A,P∈b,PQ∥a，

求证：PQα.

证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面，设为β.

∴P∈β，aβ，Pa.又P∈α，aα，Pa, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQα.

点评：证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路2

例1

若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.

变式训练

若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.

点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2

若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(

) A.α内的所有直线与a异面

B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D. 答案：D 变式训练

不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,给出以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________. 分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8 其中真命题是①. 答案：①

变式训练

若直线aα,则下列结论中成立的个数是(

) (1)α内的所有直线与a异面

(2)α内的直线与a都相交

(3)α内存在唯一的直线与a平行

(4)α内不存在与a平行的直线

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 知能训练

已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P.

求证：a与β相交,b与α相交. 证明：如图10,∵a∩b=P,

图10 ∴P∈a,P∈b. 又bβ,∴P∈β.

∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交. 拓展提升

过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11, C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 如图12,

图11

图12

图13 显然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 五、课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 六、作业

课本习题2.1

A组7、8. 七、板书设计

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

一、直线与平面的位置关系

例题

1、直线在平面内

2、直线与平面相交

3、直线与平面平行

练习及作业布置

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

一、教学分析：

空间中平面与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，平面与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中平面与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理3的基础上会判断平面与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中平面与平面之间的位置关系. 二、教学目标：

1.结合图形正确理解空间中平面与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.培养学生全面思考问题的能力. 三、重点难点：

平面与平面的相交和平行. 四、教学过程：

（一）复习

1.直线与直线的位置关系:相交、平行、异面. 2.直线与平面的位置关系：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. （二）导入新课

思路1.(情境导入)

拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？

思路2.(事例导入)

观察长方体（图1），围成长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面，两两之间的位置关系有几种？

图1 （三）推进新课、新知探究、提出问题

①什么叫做两个平面平行？

②两个平面平行的画法. ③回忆两个平面相交的依据. ④什么叫做两个平面相交? ⑤用三种语言描述平面与平面之间的位置关系. 活动:先让学生思考，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 问题①引导学生回忆直线与平面平行的定义. 问题②怎样体现两个平面平行的特点. 问题③两个平面有一个公共点,两平面是否相交.

问题④回忆公理三. 问题⑤鼓励学生自我训练. 讨论结果：

①两个平面平行——没有公共点. ②画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的平行四边形的对应边平行，如图2.

图2

图3 ③如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图3，用符号语言表示为：P∈α且P∈βα∩β=l,且P∈l. ④两个平面相交——有一条公共直线. ⑤如果两个平面没有公共点，则两平面平行若α∩β=,则α∥β.

如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交若α∩β=AB,则α与β相交. 两平面平行与相交的图形表示如图4.

图4 （四）应用示例

思路1

例1

已知平面α,β,直线a,b,且α∥β,aα,bβ,则直线a与直线b具有怎样的位置关系? 活动：学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.

解：如图5,直线a与直线b的位置关系为平行或异面.

图5 例2

如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.

解：三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条,如图6.

图6 变式训练

α、β是两个不重合的平面,在下列条件中,可判定α∥β的是(

) A.α、β都平行于直线l、m B.α内有三个不共线的点到β的距离相等

C.l、m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β

D.l、m是两条异面直线,且l∥α、m∥α、l∥β,m∥β

分析：如图7,分别是A、B、C的反例.

图7

答案：D 点评：判断正误要结合图形，并善于发现反例，即注意发散思维. 思路2

例1

α∩β=l,aα,bβ,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示. 活动:学生自己思考或讨论，再写出正确的答案.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正,并及时评价.

解：如图8,直线a、b的位置关系是平行、相交、异面.

图8 变式训练

α∩β=l,aα,bβ,b∩β=P,试判断直线a、b的位置关系,并画图表示.

解：如图9,直线a、b的位置关系是相交、异面.

图9

直线a、b不可能平行，这里仅要求学生结合图形或实物模型加以体会，学完下一节后可以证明. 点评：结合图形或实物模型判断直线与平面的位置关系，目的在于培养学生的空间想象能力. 例2

如图10，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，

图10 （1）画出l的位置；

（2）设l∩A1B1=P，求PB1的长.

解：（1）平面DMN与平面AD1的交线为DM，

则平面DMN与平面A1C1的交线为QN. QN即为所求作的直线l.如图10. （2）设QN∩A1B1=P, ∵△MA1Q≌△MAD，∴A1Q=AD=a=A1D1, ∴A1是QD1的中点.又A1P∥D1N, 111D1N=C1D1=a. 24413∴PB1=A1B1－A1P=aaa. 44∴A1P=变式训练

画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面与四面体各面的交线.

解：如图11,分别连接并延长线段EF、BD，

图11 ∵线段EF、BD共面且不平行，∴线段EF、BD相交于一点P. ∴连接GP交线段CD于H,分别连接EG、GH、FH即为所作交线. 点评：利用公理3作两平面的交线是高考经常考查的内容，是两平面关系的重点. 知能训练

三棱柱的各面把空间分成几部分? 解：分为21部分. 拓展提升

已知平面α∩平面β=a,bα,b∩a=A,cβ且c∥a, 求证：b、c是异面直线. 证明：反证法：若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交. (1)若b∥c.∵a∥c,∴a∥b.这与a∩b=A矛盾. (2)若b、c相交于B,则B∈β.又a∩b=A,∴A∈β.

∴ABβ,即bβ.这与b∩β=A矛盾. ∴b,c是异面直线. 五、课堂小结

本节主要学***面的位置关系，平面与平面的位置关系有两种：

①两个平面平行——没有公共点；

②两个平面相交——有一条公共直线.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 六、作业

课本习题2.1

B组1、2、3. 七、板书设计

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

一、平面与平面的位置关系

例题

1、平面与平面重合

2、平面与平面相交

3、平面与平面平行

练习及作业布置