4.3.2 空间两点间的距离公式教学实录与评析

教学设计（制作教师：张堂耿）

高中数学. 必修二. 4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式

一、【课前回顾】

问题1：平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式是什么？

设计意图：复习与本节知识相关的内容，为新知学习做准备。

师生活动：教师提问，学生回答。

二、【揭示目标】

1、掌握两点间距离公式的应用。

三、【自学指导】

探究1：一间房子长5m，宽3m，高3m，一根7m长的木棒能放得进去吗？

设计意图：创设问题情境，通过设疑，导入新课。

师生活动：教师一启发学生理解题意，说明此问题可转化为怎样的数学问题。

学生画图、分析、比较长方体体对角线长与木棒的长，

如图，|PQ|=a2b2c2437，因此木棒不能放进去。

问题2：在平面直角坐标系下，原点到点P（x0，y0）的距离公式是什么？你能猜想一下空间直角坐标系中，P(x0,y0,z0)到坐标原点的距离公式吗？

设计意图：类此平面两点间距离公式，让学生通过观察、

猜想等合情推理方式得出空间两点间距离公式。

师生活动：教师提问、引导，学生猜想、讨论，回答。

四、【小组互助】

点P(x，y，z)，满足x2y2z2r2(r为定长)的点P的轨迹是什么图形？

设计意图：类比平面内x2y2r2的几何意义，推广到空间，体会数形结合的思想。

师生活动：在平面上，到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，推广到空间就是球。

五、【小组汇报】

六、【教师点拨】

问题3：探究P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)两点间的距离公式。

设计意图：前面的问题设置了合适的坡度，从特例出发，再推广到一般，体现特殊到一般的思想方法。

师生活动：教师引导，学生讨论，回答。

思路1：过两点分别作三个坐标面的平行平面，则这六个面围成一个长方体，作长方体（如图4.3-11），P1(x1，y1，z1)，p2(x2，y2，z2)是长方体的对角线端点，则A

(x1，y2，z2)，B(x2，y1，z2)，C(x2，y2，z1)，|P2A|=|x2－x1|，|P1C|=|z2－z1|，由长方体对角线定量，得|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

思路2：作线段P1P2在坐标平面上的正投影，把空间问题转化为平面问题加以解决。设点P1P2在xOy平面上的射影是M、N，因为：

p1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),所以M(x1,y1,01)N(x2,y2,0),|MN||P(x1x2)2(y1y2)2，

1H|22222|PP||PH||PH|(xx)(yy)(zz)

1212121212，

例题：求证：以A(10，－1，6)，B(4,1,9)，C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形。

设计意图：公式应用。

师生活动：教师引导，学生讨论，回答。

七、【当堂检测】

1、先在空间直角坐标系中标出A，B两点，再求它们之间的距离：

（1）

A（2，3，5）

B（3，1，4）

（2）

A（0，2，0）

B（3，5，7）

2、在z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，－3，1)的距离相等。

3、点P(x,y,z)的坐标满足方程(x1)2(y1)2(z1)24,点P位于何处？

（(x1)2(y1)2(z1)22,点P在以(1,1,1)为球心,半径为2的球上。）

八、【课后反思】

空间两点间的距离公式：|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

九、【配餐作业】

A组

1、如图，正方体OABC—DABC的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC|，写出点M,N

坐标，再求MN的长。

2、如图，正方体的棱长为a，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，求这个几何体的棱长。

B组

金红石（TiO2）的晶胞如图所示，图中色点代表钛原子，黑点代表氧原子。长方体的8个顶点和中心是钛原子，4个氧原子的位置是A（0.31a，0.31b,0），B（0.69a，0.69b，0）

C（0.81a，0，0.5c）和D（0.19a，0.81b，0.5c）。中心处钛原子与A处氧原子间的距离叫做键长。当a=b时，试求键长。

C组

如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。

（1）当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

（2）当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值；

（3）当点P在对角线AB上运动，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值；

由以上问题，你得到了什么结论？你能证明你的结论吗？