3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计一等奖

3.1.1 倾斜角与斜率

教学活动1【导入】创设情景，导入新课

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线

的位置能确定吗? 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? 思考：(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 活动2【讲授】直线的倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问:

倾斜角α的取值范围是什么?

0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°因为平面直角坐标系内的每一条

直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 直线a∥ b∥c, 那么它们的倾斜角α相

等吗? 答案是

肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.

活动3【讲授】2.直线的斜率：

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = ta n0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 活动4【练习】课堂练习

课堂练习1：

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 活动5【导入】

3. 直线的斜率公式：

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导. 公式推导

斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

(2) k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

活动6【讲授】例题讲解

例1 如图，已知A(3, 2)，B(-4, 1)，C(0, -1)，求直线AB,BC,CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

解：直线AB的斜率k = = ; 直线BC的斜率k = = =- ; 直线CA的斜率k = =1 由k ＞0及k ＞0知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由k ＜0 知

直线BC的倾斜角为钝角。

小结：

已知两点坐标, 而且 , 由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;

而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;

而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 活动7【活动】课堂小结，巩固反思

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式

活动8【作业】布置作业

布置作业：

《课堂练习3.1.1》