3.1.2 导数的概念教学设计内容推荐

普通高中人教A版选修1-1

3.1.2导数的概念教学设计

一、教学内容解析

《导数的概念》是《选修1-1》第三章第3.1节中第3.1.2小节的内容，是高中数学的一节概念课.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．一般地，导数概念学习的起点是极限，但就高中学生的认知水平而言，他们很难理解极限的形式化定义.因此，我们对导数概念的引入从变化率入手，用形象直观的“逼近”方法定义导数. 我们将导数概念的建立分为两个阶段，在明确瞬时速度含义的基础上，将瞬时速度一般化，即抽象为一般的函数，从而形成导数的概念. 第一阶段：明确瞬时速度的含义及平均速度与瞬时速度的区别和联系.让学生在观察实验的同时，体会当|t|变小，趋于0时，s趋于一个定值，这个定值就是瞬时速度.在经历平均速度到瞬时速度的过程中，t第一次体会逼近的数学思想. 第二阶段，将平均速度和瞬时速度抽象为一般的表达式，完全转化为数学问题，在揭示研究瞬时变化率必要性的同时，用类比的思想方法，经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，再次体会逼近的思想方法.最后，建立导数的概念. 因此，根据以上对教学内容的分析，确立本节课的教学重点：在充分经历导数概念的建立过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的思想及其内涵. 二、目标和目标解析

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

1

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学

重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．

三、学生学情分析

1. 有利因素：学

生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学***均变化率，本节课继续以高台跳水问题为背景，进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习，并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫了大量的关于函数变化率的经验；另外，正一中学学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础．

2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度题基本思想．

3.可能存在的问题：（1）“逼近”的思想对于学生而言，还是比较陌生，需要精心设计教学活动，比如借助物理知识等，激发学生的兴趣，从学生已有的知识背景出发，帮助学生经历从平均速度到瞬时速度，从平均变化率到瞬时变化率的过渡.（2）使学生能通过观察发现：运动的物体在某一时刻的平均速度在时间间隔越来越小时，逐渐趋于一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度.这个过程学生难以想象，同时数值逼近的运算繁琐，但又不能采取简单的方式告知学生，而是要学生通过实际的计算，在计算过程中，充分感知当|t|趋于0时，hy趋于一个定值；当|x|趋于0时，趋于一个定值.（3）tx在实际教学中，学生需要用到思想方法和表达形式的迁移，即把从平均速度到瞬时速度过渡中所运用的“逼近”的思想方法迁移到从平均变化率到瞬时变化率的过渡，从对一个具体函数在一个确定点的瞬时变化率的表达式迁移到任意一个函数在任意一点的瞬时变化率的表达，这样的探究方法可能会导致学生的不适应而产生困难. 因此，如何引导学生根据生活中具体的实例，结合已有的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊到一般，用类比的方法归纳探究出导数的概念是本节课的难点. 四、教学策略分析

根据学生情况，为了完成本节课的教学目标，突破教学重难点，主要采取教师问题引导，学生自主探究、归纳的教学方法.具体的策略有: 1.从具体到抽象的教学方法.学生由生活中的具体实例和已有的知识背景出发，历经平均速度到瞬时速

2

度的过渡，再把物体的运动变化量抽象为一般的函数，从而得到瞬时变化率的概念. 2.从特殊到一般的教学方法.让学生在知道t2是的瞬时速度以后，直观地理解运动员在任意时刻t的瞬时速度.同样，在学生探究出一个指定函数在某一点处的瞬时变化率之后，可以归纳出一般函数在任意一点的瞬时变化率. 3.几何直观感受.通过几何画板的演示让学生形象的感知“逼近”.

4.利用计算器进行分组合作，取不同的t，x，计算hy以及的值. 五、教学过程

t3 x

预计时间

13分钟

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

讲授：上节课我们通过气球膨胀率、高台跳水的实例，建立起了平均变化率的概念.也请大家计算了高台跳水运

回顾复习

实例研究

65动员在0t这段时间里的平均速度. 49经过计算，大家发现运动员在0t65这段时间里49

学生思考. 的平均速度是0.难道说运动员在这段时间是静止的？

显然，运动员在这段时间里不是静止的.由此可见，用

平均速度描述运动员的运动状态是有一定的局限性.所以

我们说“平均速度”只能粗略地描述运动员的运动状态.还有一种速度，它能更精确地刻画运动员在每个时刻的运动状态，我们称之为：瞬时速度. 那如何求运动员的瞬时速度呢？比如，高台跳水运动员在t2s时的瞬时速度是多少呢？大家有没有好的想法？

讲授：我们来看物理中测瞬时速度的小视频.

问：观看的时候思考仪器在测量瞬时速度时的工作原理是什么？

问：这里所得的真是瞬时速度吗？为什么？

. 问：对，也就是我们很难测量到真正的瞬时速度，我们测量到的是千分之一，万分之一秒，以致更短时间间隔

学生思考.找不到好的方法来求运动过程中的瞬时速度.

根据已有的物理知识，学生回答仪器是通过测量气轨上滑块在t时间内滑过的距离

s，用得. s计算而t

学生回答不是.

内的平均速度. 那如何使得平均速度更接近瞬时速度呢？

答：时间间隔越

讲授：对.那如果我们想求高台跳水运动员在t2s小越好.使得t变小.

4 组织学生讨论、交流计算结果，激发学生的求知欲.明确本节课的教学内容.

平均速度为0？通过计算结果与学生的认知产生冲突.

在实例观察中，感受逼近的思想，为求瞬时速度奠定基础.

时的瞬时速度，就考察t2s附近的情况，在t2之前或者之后，任意取一个时刻2t.t可以是正直，也可以是负值，但不为0当t取不同值时，计算平均速度

学生利用计算器，分小组合作.每个小组随意选择几个t的值，计算vhh(2t)h(2). tt我们先看运动员在[2t,2]内的平均速度.请看表格：

[2+Δt,2] [1.9,2] [1.99,2] [1.999,2] [1.9999,2] [1.99999,2] [1.999999,2] [1.9999999,2] Δt<0

-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001 -0.0000001 平均速度

-13.051 -13.0951 -13.09951 -13.099951 -13.0999951 -13.09999951 -13.09999995 h的值. t

答：当t趋近于0时，从2的右边接近2时，平均速度趋于一个确定的值13.1.

答：当t趋近大家发现了什么特点？

再看运动员在内在[2,2t]的平均速度.请看表格：

[2,2+Δt] [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001] [2,2.0000001] Δt>0

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 0.0000001 平均速度

-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049 于0时，从2的左-13.10000049 边接近2时，平均-13.10000005 速度趋于一个确定的值13.1. 学生回答. 通过这两个表格的对比，你们发现了什么？

对，当t趋近于0时，即无论从2的左边，还是右边，

趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值13.1.我们

大家有发现了什么特点？

5

就把13.1

讲授：我们用这个方法得到了高台跳水运动员在t2s附近，平均速度逼近一个确定的常数.那其他时刻呢？比如t2.5s、t3s等？

请大家按照刚才我们探究t2s时的过程，用你手中的计算器，分别计算t2.5s、t3s这两个时刻附近的平均速度.请两个同学把小组计算出来的数据输入Excel表格.

学生分组合作，思考、计算、讨论.

学生总结计算结果. t2.5s附近的平均速度变化：

t3s附近的平均速度变化：

讲授：经过以上三个时刻的计算，大家都发现：当时间间隔很小，也就是当两个时间的端点无限靠近时，就逼近了一个时刻，我们就把平均速度用为瞬时速度的近似值. 之前我们在学习函数零点的时候，利用“二分法”逼近函数零点. 今天，根据上面的讨论，我们又用平均速度逼近了瞬时速度，这都体现了我们数学中无限逼近的思想.

让学生熟悉符号，在亲自计算的过程中感受逼近的思想.

从特殊到一般，让学生直观地理解运动员在任意时刻t的瞬时速度.

讲授：对于高台跳水运动员的运动时刻，我们有这样6

12分钟

自

主

探

究

形成概念

的结论，那其他运动会吗？如果我们把运动员的运动变化抽象为一个函数，也有这样的结论吗？其实，物体的运动变化量可以抽象成一个函数yf(x)，这样我们用到的hyy就可以用一个跟为一般烦人表达式来表达，而txx就是我们上节课所学的平均变化率.我们可以用它来刻画一个函数在某个区间的变化趋势. 问：那如何更好地刻画一个函数的变化趋势呢？

为了探讨这个问题，我们来做这样的两个实验活动：

实验活动1：求函数yx，yx2，y

答：根据平均变化率的公式

这个计算与学生的认知发生了冲突。同时也让学生认x从0到1的平均变化率？

问：是不是这三个函数在0到1的变化趋势是一样的呢？

讲授：由此可见，正如平均速度只能粗略反映物体在某个时间段的运动状态，而要想更为精确的刻画物体在某个时刻的运动状态，我们只能通过瞬时速度.由此类比，对于函数来说，平均变化率也只能粗略的描述函数的变化趋势，那如何精确的描述函数的变化呢？

问：那如何求函数在某一点处的瞬时变化率呢？

讲授：下面我们就做另一个实验活动，看一下，当x缩短时，平均变化率发生了什么样的变化？请大家分组合作. yf(x2)f(x1)识到平均变xx2x1

计算得这三个函数在同一个变化区间上平均变化率都是1. 但根据图像发现这三个函数在0到1的变化趋势是不一样的.

答：

瞬时变化率.

答：把区间x缩短.

化率只能粗略的描述函数的变化.

由上面从平均速度到瞬时速度的过渡，由对瞬时速度的形成和理解，学生很容易联想到可以用一个词，叫做“瞬时变化率”。用它可以精确的描述函数在某一个点的变化趋

7

实验活动2：已知函数f(x)x2

，分别计算f(x)在下列区间上的平均变化率：

学生分组合作，计算结果，得出结论.要求一个小组展示成果，表达对结果的看法.

经过计算，学生势.这体现了类比的思想方法.

学生在上一个问题中遇到了认知冲突，希望寻求新的认知来解决这个冲突。老师提出的这个实验活结论：

用几何画板演示：

讲授：我们就把2记作是f(x)x2在x1处的瞬时变化率，用数学语言表达就是

lim会发现当两个区间的端点无限靠近，即x逼近0时，平均变化率都逼近一个确定的值2，即瞬时变化率.

自己尝试来写. 学生自己归纳动引导学生通过计算，自主探究，使得获得新知的过程自然而然。

引导学生舍弃具体问题的实际意义，完全抽象为数学问题.在函x0f(1x)f(1)2. x讲授：这样，我们就实现了从平均变化率到瞬时变化率的过渡.得到了一个具体函数f(x)x在x1处的瞬时变化率.问：那对于任意一个函数f(x)在xx0处的瞬时变化率该怎么表示？

讲授：一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化

8 2总结.体会由特殊到一般的思想方法

率是

：

limyf(x0x)f(x0)

x0xx

数知识的迁移下，学生能顺利地表示出一般函数：

我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0。即：

f(x0)limx0yf(x0x)f(x0)

xx

yf(x)在xx0处的瞬时变化

率.

瞬时变化率和导数是同一个概念的两个名称。

8 分钟

概括提升

理解内涵

问：f(x0)，f(x0)，y|xx0，这三个符号分别是什么意思？

问：至此，导数的定义就完全展现给大家了.那我们如何求一个具体问题的导数呢？计算课本第75页的例1. 答：f(x0)是函数f(x)在xx0认识符号，从函数的角度出处的函数值， 发，找到这或f(x0)三个符号的y|xx0是函数区别和联yf(x)在系.

xx0处的导数.

计算例1，在第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明他们的意义.

熟悉导数的定义，进一步巩固导数的计算方法.

6分钟

梳理知识

布置问：

1.为什么要研究平均变化率和导数？

2.导数形成的过程是什么？从中学到了什么方法？

3.求导数的依据是什么？步骤是什么？

4.布置作业. （必做：第79页习题A组第2、3、4 题

选做：思考第80页习题B组第1题

学生和老师共同回答.

整理本节所学的核心概念、基本技能，概括研究方法以及其中蕴含的数学思想.

9

作业

预习： 3.1.3导数的几何意义

讲授：经过我们的探究，我们从生活中的实例到具体的函数，由特殊到一般，运用类比的思想方法，由平均速度逼近瞬时速度，再由平均变化率逼近了瞬时变化率，从而得到了函数在某一点处的导数。导数的思想方法就是通过函数在某一点附近的变化状态，揭示这一点处的变化状态，也揭示函数的本质。

六、板书设计

§3.1.2导数的概念

导数的概念：

一般地，函数板书设计

yfx在xx0处的瞬时变化率是

（投影屏幕）

fx0xfx0ylimlim，

x0xx0x我们称它为函数在xx0处的导数，

记作f'x0或y'xx，

0fx0xfx0ylim即fx0=lim

x0xx0x'七、评价反思

这节课是数学概念的教学课.数学概念本身比较抽象，导数的概念就更为抽象.为了便于学生对导数概念的理解，我通过实例，设置环环相扣的问题，让学生体验“逼近”的思想，并运用类比的方法，引导学生分析和归纳，从而达到概念的自然形成，最后又将归纳出的数学概念应用到实际问题中，首尾呼应，这样做学生不会感到突兀，并且能进一步感受到数学来源于生活，又高于生活.

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