1.2.1 中心投影与平行投影教学设计一等奖

1.2

空间几何体的三视图和直观图

1.2.1

中心投影与平行投影

1.2.2

空间几何体的三视图

1．了解中心投影和平行投影．

2．能画出简单空间图形(柱、锥、台球及其组合体)的三视图．(重点) 3．能识别三视图所表示的立体模型．(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1

投影的概念

阅读教材P11～P12第二行内容，完成下列问题．

1．投影的定义

由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．

2．中心投影与平行投影

投影

定义

特征

投影线交于一点

分类

正投影和斜投影

中心

光由一点向外散射形成的投影

投影

平行

在一束平行光线照射下形投影

成的投影

投影线互相平行

1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形的平行投影一定是矩形．(

) (2)平行四边形的平行投影可能是正方形．(

) (3)两条相交直线的平行投影可能平行．(

) (4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．(

) 【解析】

利用平行投影的概念和性质进行判断．

【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

教材整理2

三视图

阅读教材P12第三行～P14内容，完成下列问题．

三视图

正视图

概念

光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图

光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图

光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图

一个几何体的三视图如图1-2-1所示，则该几何体可以是(

) 一个几何体的正视图和侧视图高度一样，正视图和俯视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样

规律

侧视图

俯视图

图1-2-1 A．棱柱

C．圆柱

B．棱台

D．圆台

D

[先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.]

2

[小组合作型]

中心投影与平行投影

2-2，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，

如图1-点E，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)

图1-2-2

【精彩点拨】

利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断．

【自主解答】

其中(2)可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影．

(3)可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影．

【答案】

(2)(3)

画投影图的关键及常用方法

1．关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影．

3

2．常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法．

[再练一题]

1．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．

图1-2-3 ①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

【解析】

①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝5，故四边形AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．

【答案】

①③

画空间几何体的三视图

画出下列几何体的三视图．

(1)

(2)

(3) 图1-2-4 【精彩点拨】

确定正前方→画正视图→画侧视图→画俯视图

4

【自主解答】

三视图如图(1)(2)(3)所示．

画三视图的注意事项

1．务必做到长对正，宽相等，高平齐．

2．三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

3．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

[再练一题]

2．画出如图1-2-5所示几何体的三视图.

5

图1-2-5 【解】

图①为正六棱柱，正视图和侧视图都是矩形，正视图中有两条竖线，侧视图中有一条竖线，俯视图是正六边形．图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状．三视图如图所示．

[探究共研型]

由三视图还原空间几何体

探究1

如图1-2-6是一个立体图形的三视图，请观察三视图，由三视图，你能知道该几何体是什么吗？并试着画出图形．

图1-2-6 【提示】

由三视图可知，该几何体为正四棱锥，如图所示．

探究2

若某空间几何体的正视图和侧视图均为正三角形，请探究该几何体的形状．

【提示】

若该几何体的正视图和侧视图均为正三角形，则该几何体为轴截

6

面为等边三角形的圆锥，如图所示．

2-7所示)想象物体原形，指出其结构特征，并画

根据三视图(如图1-出物体的实物草图．

图1-2-7 【精彩点拨】

由正视图、侧视图确定几何体为锥体，再结合俯视图确定其是四棱锥，由俯视图可知其底面形状，再结合正视图、侧视图所给信息画直观图．

【自主解答】

由俯视图知，该几何体的底面是一直角梯形；再由正视图和侧视图知，该几何体是一四棱锥，且有一侧棱与底面垂直，所以该几何体如图所示．

由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由正视图与侧视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.

[再练一题]

3．如图1-2-8是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？(

)

7

图1-2-8

【解析】

由俯视图可知该几何体为旋转体，由正视图、侧视图、俯视图可知该几何体是由圆锥、圆柱组合而成．

【答案】

D

1．一条直线在平面上的正投影是(

) A．直线

C．线段

B．点

D．直线或点

【解析】

当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置时其正投影均为直线，故选D. 【答案】

D 2．已知某物体的三视图如图1-2-9所示，那么这个物体的形状是(

)

图1-2-9 A．长方体

B．圆柱

8

C．立方体

D．圆锥

【解析】

俯视图是圆，所以为旋转体，可排除A、C，

又正、侧视图为矩形，所以不是圆锥，排除D.故选B. 【答案】

B 3．水平放置的下列几何体，正视图是长方形的是______(填序号).

①

②

③

④

图1-2-10 【解析】

①③④的正视图为长方形，②的正视图为等腰三角形．

【答案】

①③④

4．一物体及其正视图如图1-2-11：

①

②

③

④

图1-2-11 则它的侧视图与俯视图分别是图形中的________．

【解析】

侧视图是矩形中间有条实线，应选③；俯视图为矩形中间有两条实线，且为上下方向，应选②. 【答案】

③②

5．如图1-2-12所示的三视图表示的几何体是什么？画出物体的形状．

图1-2-12 【解】

该三视图表示的是一个四棱台，如图．

9

10