3.2.2 直线的两点式方程特级教师教学实录

§9.2

两直线的位置关系

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1、l2的斜率都不存在时，l1与l2平行. (2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直. 2.两直线相交

交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0的解一一对应. A2x＋B2y＋C2＝0

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解. 3.三种距离公式

(1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离：

|AB|＝

x2－x12＋y2－y12. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：

d＝

|Ax0＋By0＋C|. A2＋B2|C2－C1|A2＋B2. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0 (C1≠C2)间的距离为d＝

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.

(

×

)

(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.

(

×

) (3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.

(

√

) (

×

) (

√

) |kx0＋b|(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.

1＋k2(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.

1(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的k中点在直线l上.

(

√

) 12.若经过点(3，a)、(－2,0)的直线与经过点(3，－4)且斜率为的直线垂直，则a的值为(

) 25A.

2

2B.

5C.10

D.－10 答案

D a－0解析

∵＝－2，∴a＝－10. 3－－23.直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________. 答案

－4 40，在第一条直线上，所以C＝－4. 解析

因为两直线的交点在y轴上，所以点34.已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是2，则直线l1的方程为_____________. 答案

x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0 |c＋1|解析

设l1的方程为x＋y＋c＝0，则＝2. 2∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3. 5.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是________. 答案

32 41解析

先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，

21|2－|23则两平行线间的距离为d＝＝2. 42

题型一

两条直线的平行与垂直

例1

已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 思维启迪

本题考查两直线平行或垂直成立的充分必要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况. 解

(1)由已知可得l2的斜率存在，∴k2＝1－a. 若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.

∵l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0. 4又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋4＝0，即a＝(矛盾). 3∴此种情况不存在，∴k2≠0. a即k1，k2都存在，∵k2＝1－a，k1＝，l1⊥l2，

ba∴k1k2＝－1，即(1－a)＝－1.

b

①

②

又∵l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.

由①②联立，解得a＝2，b＝2. (2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在，

ak1＝k2，即＝1－a.

b

③

又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，

4∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b，

b

④

a＝，a＝2，联立③④，解得或3b＝－2

2b＝2.

2∴a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. 3思维升华

当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件.

已知两直线l1：x＋ysin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：

(1)l1∥l2；

(2)l1⊥l2.

解

(1)方法一

当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2. 1当sin α≠0时，k1＝－，k＝－2sin α. sin α21要使l1∥l2，需－＝－2sin α，

sin α2即sin α＝±. 2π所以α＝kπ±，k∈Z，此时两直线的斜率相等. 4π故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4方法二

由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，

2所以sin α＝±. 2又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. π所以α＝kπ±，k∈Z. 4π故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2. 4(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，

所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2. 题型二

两直线的交点

例2

过点P(3,0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程. 思维启迪

求直线的方程一般需要两个已知条件，本例已知直线l过一定点P(3,0)，还需要寻求另一个条件.这一条件可以是斜率k或另一个定点，因此，有两种解法. 解

方法一

设直线l的方程为y＝k(x－3)，

将此方程分别与l1，l2的方程联立，

y＝kx－3，y＝kx－3，得和

2x－y－2＝0x＋y＋3＝0.

3k－23k－3解之，得xA＝和xB＝，

k－2k＋1∵P(3,0)是线段AB的中点，由xA＋xB＝6得

3k－23k－3＋＝6，解得k＝8. k－2k＋1故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二

设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，

∵P(3,0)是线段AB的中点，

则l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，

2x1－y1－2＝0，∴

6－x1＋－y1＋3＝0.

x＝3，解这个方程组，得16y＝3.1111

1116∴点A的坐标为(，)，由两点式可得l的方程为8x－y－24＝0. 33思维升华

(1)两直线交点的求法

求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点. (2)常见的三大直线系方程

①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是

A x＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).

②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是

Bx－Ay＋m＝0(m∈R). ③过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋

2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1 ＝0上，求其方程. 解

与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0. 设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，

即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，

∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0. 1解得λ＝－.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0. 3题型三

距离公式的应用

例3

正方形的中心在C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程. 思维启迪

借助平行直线系和垂直直线系设出其他三边所在直线的方程，利用正方形的中心到各边距离相等列出方程求直线系中的参数. |－1－5|310解

点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝. 51＋9

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，

|－1＋m|310则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝＝，

51＋9解得m＝－5(舍去)或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

|－3＋n|310则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝＝，

51＋9解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0. 思维升华

正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍.本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程. 运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式.

已知点P(2，－1). (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离. (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由. 解

(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，－1)，可见，过P(2，－1)垂直于x轴的直线满足条件. 此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，

即kx－y－2k－1＝0. |－2k－1|3由已知，得＝2，解之得k＝. 4k2＋1此时l的方程为3x－4y－10＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0. (2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，

由l⊥OP，得klkOP＝－1. 1所以kl＝－＝2. kOP由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，

即2x－y－5＝0，

|－5|即直线2x－y－5＝0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为＝5. 5(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P点且与原点距离为6的直线. 题型四

对称问题

例4

已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；

(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；

(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程. 思维启迪

解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题.

y＋22＝－1，3x＋1·解

(1)设A′(x，y)，再由已知x－1y－22×－3×＋1＝022

. 解得4y＝13.33x＝－，13

334∴A′(－，). 1313(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，

则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上. 设对称点为M′(a，b)，则

a＋2b＋02×－3×＋1＝0，22b－02a－2×3＝－1.630解得M′(，). 13132x－3y＋1＝0，设m与l的交点为N，则由

3x－2y－6＝0.

得N(4,3). 又∵m′经过点N(4,3)，

∴由两点式得直线方程为9x－46y＋102＝0. (3)设P(x，y)为l′上任意一点，

则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，

∵P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，

即2x－3y－9＝0.

思维升华

解决成中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由垂直列一方程，由平分列一方程，联立求解.

光线沿直线l1：x－2y＋5＝0射入，遇直线l：3x－2y＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程. x－2y＋5＝0，解

方法一

由

3x－2y＋7＝0，x＝－1，得

y＝2.

∴反射点M的坐标为(－1,2). 又取直线x－2y＋5＝0上一点P(－5，0)，设P关于直线l的对称点P′(x0，y0)，由PP′⊥l2y0可知，kPP′＝－＝. 3x0＋5而PP′的中点Q的坐标为x0－5y02，2，

x0－5y0Q点在l上，∴3·－2·＋7＝0. 22由32x－5－y＋7＝0.00y02＝－，3x0＋5

得32y＝－.13017x0＝－，13

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x－2y＋33＝0. y0－y方法二

设直线x－2y＋5＝0上任意一点P(x0，y0)关于直线l的对称点为P′(x，y)，则x0－x2＝－，

3又PP′的中点Qx＋x0y＋y02，2在l上，

x＋x0y＋y0∴3×－2×＋7＝0，

22y－y2＝－，x－x3由x＋x3×2－y＋y＋7＝0.0000

可得P点的横、纵坐标分别为

x0＝－5x＋12y－4212x＋5y＋28，y0＝，

1313

代入方程x－2y＋5＝0中，化简得29x－2y＋33＝0，

∴所求反射光线所在的直线方程为29x－2y＋33＝0.

转化与化归思想在对称问题中的应用

典例：(12分)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4). (1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；

(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大. 思维启迪

处理此类解析几何最值问题时，一般转化为一条线段的长度来计算. 规范解答

解

(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，

n－0m－2＝－2则m＋2n＋0－2·＋8＝022

，

m＝－2解得，故A′(－2,8). n＝8

[3分]

P为直线l上的一点，

则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，

当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，

为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，

x＝－2x＝－2解得，

x－2y＋8＝0y＝3

[5分]

故所求的点P的坐标为(－2,3).

[7分]

(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，

则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时，

||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，

又直线AB的方程为y＝x－2，

y＝x－2x＝12解得，

x－2y＋8＝0y＝10

[9分]

故所求的点P的坐标为(12,10).

[12分]

温馨提醒

在直线l上找一点P到两定点A，B的距离之和最小，则点P必在线段AB′上，故将l同侧的点利用对称转化为异侧的点；若点P到两定点A，B的距离之差最大，则点P必在AB′的延长线、或BA′的延长线上，故将l异侧的点利用对称性转化为同侧的点(A′，

B′为点A，B关于l的对称点).

方法与技巧

1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2⇔k1＝k2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意. 2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法. 失误与防范

1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑. 2.在运用两平行直线间的距离公式d＝相同的形式. |C1－C2|时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为A2＋B2

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 一、选择题

1.(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的

(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

答案

A

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，

即a＝－2或a＝1，

所以“a＝1”是“直线l1与直线l2平行”的充分不必要条件. 2.从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为

(

) A.x＋2y－4＝0

C.x＋6y－16＝0 答案

A B.2x＋y－1＝0 D.6x＋y－8＝0

1解析

由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y21－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反2射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确. 3.已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(

) A.2x＋3y－18＝0 B.2x－y－2＝0 C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0 答案

D 解析

设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，

即kx－y＋4－3k＝0，

|－2k－2＋4－3k||4k＋2＋4－3k|由已知，得＝，

1＋k21＋k22∴k＝2或k＝－. 3∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0. 4.设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是

A.平行

C.垂直

答案

C 解析

由ab＝，得bsin A－asin B＝0. sin Asin B

B.重合

D.相交但不垂直

(

) ∴两直线垂直. 5.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射

后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所

经过的路程是

A.210 C.33 答案

A

B.6 D.25

(

)

解析

由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的

对称点为C(－2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝210. 二、填空题

6.已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则

实数a＝________. 3答案

5解析

由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，

3解得a＝. 57.若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为22，则m的倾斜角可以是

①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°

其中正确答案的序号是________. 答案

①⑤

解析

两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为|3－1|＝2，又动直线l1与l2所截得2的线段长为22，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合. 8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________. 答案

34

5解析

由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是3＋n7＋m＝2×－322点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是n－31＝－m－72

，

m＝5解得31n＝5三、解答题

3

34，故m＋n＝. 59.若直线l过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且|AB|＝5，求直线l的方程. 解

过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1. x＝1解方程组，

2x＋y－6＝0

求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，

即x＝1为所求. 设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，

2x＋y－6＝0解方程组，

y＋1＝kx－1

k＋7x＝k＋2得两直线交点为4k－2y＝k＋2

. (k≠－2，否则与已知直线平行). k＋74k－2则B点坐标为(，). k＋2k＋2k＋74k－2由已知(－1)2＋(＋1)2＝52，

k＋2k＋233解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，

44即3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 10.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程. 解

依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，

∴lAC为2x＋y－11＝0，

2x＋y－11＝0，联立lAC、lCM得∴C(4,3). 2x－y－5＝0，

x0＋5y0＋1设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，

22代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

2x0－y0－1＝0，∴∴B(－1，－3)，

x－2y－5＝0，00

66∴kBC＝，∴直线BC的方程为y－3＝(x－4)，

55即6x－5y－9＝0. B组

专项能力提升

(时间：25分钟) 1.(2013·天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于

(

)

1A.－

2答案

C B.1

C.2

1D.

2解析

圆心为O(1,0)，

由于P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，

∴P为切点，OP与P点处的切线垂直. ∴kOP＝2－0＝2，

2－1又点P处的切线与直线ax－y＋1＝0垂直. ∴a＝kOP＝2，选C. 2.已知直线l1：y＝xsin α和直线l2：y＝2x＋c，则直线l1与l2 A.通过平移可以重合

B.可能垂直

C.可能与x轴围成等腰直角三角形

D.通过绕l1上某一点旋转可以重合

答案

D 解析

l1的斜率sin α∈[－1,1]，l2的斜率为2，积可能为－1，即两直线可能垂直，斜率不可能相等，所以必相交，l1绕交点旋转可与l2重合. 3.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的

距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交

于点C，则△ABC的面积的最小值为________. 答案

6 解析

以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角

坐标系，设B(a，－2)，C(b,3). 6∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝. a1Rt△ABC的面积S＝a2＋4·b2＋9 21361＝a2＋4·2＋9＝

2a21≥72＋72＝6. 24.点P(2,1)到直线l：mx－y－3＝0(m∈R)的最大距离是________. 答案

25 14472＋9a2＋2

a

(

)

解析

直线l经过定点Q(0，－3)，如图所示. 由图知，当PQ⊥l时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|＝

2－02＋1＋32＝25，

所以点P(2,1)到直线l的最大距离为25. 5.(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________. 答案

(2,4) 解析

设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求. 6－2又kAC＝＝2，

3－1∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，

即2x－y＝0.

①

5－－1又kBD＝＝－1，

1－7∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，

即x＋y－6＝0.

②

2x－y＝0，x＝2，由①②得∴∴M(2,4). x＋y－6＝0，y＝4，

6.如图，函数f(x)＝x＋2的定义域为(0，＋∞).设点P是函数图象

x上任一点，过点P分别作直线y＝x和y轴的垂线，垂足分别为M，

N. (1)证明：|PM|·|PN|为定值；

(2)O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值. (1)证明

设Px0，x0＋x02

(x0>0).

则|PN|＝x0，|PM|＝2x01＝，因此|PM|·|PN|＝1. x022x0＝－(x－x0)，

(2)解

直线PM的方程为y－x0－即y＝－x＋2x0＋2x0.

y＝x，解方程组

2y＝－x＋2x0＋x0，2得x＝y＝x0＋，

2x0S四边形OMPN＝S△NPO＋S△OPM

11＝|PN||ON|＋|PM||OM| 221122＝x0x0＋＋x0＋

2x02x02x0121x＋2≥1＋2，

＝2＋20x01当且仅当x0＝，即x0＝1时等号成立，

x0因此四边形OMPN面积的最小值为1＋2.